精品解析：四川省内江市2022届高三上学期零模数学文科试题

**基本信息** 内江市2022届零模理科数学试卷，以高考命题趋势为导向，通过梯度设计考查复数、函数、圆锥曲线等核心知识，融入《易经》二进制、空气质量指数等情境，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|复数、函数单调性、双曲线离心率、统计图表分析等|第9题结合《易经》二进制考概率，第10题以空气质量指数折线图考查数据分析，体现文化传承与现实应用| |填空题|4/20|不等式恒成立、独立性检验、椭圆离心率、函数最值|第14题通过近视与手机使用调查考独立性检验，强化数据观念| |解答题|6/70|导数切线、抛物线综合、函数极值、线性回归、椭圆与直线、函数零点|第20题结合强基计划设计统计与线性回归，第22题探究函数零点个数，突出逻辑推理与数学建模|

内江市高中2022届零模试题 数学（理科） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上.） 1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 若双曲线的离心率为，则（ ） A. B. C. 或 D. 4. 设命题函数在上为单调递增函数：命题函数为奇函数.则下列命题中真命题是（ ） A. B. C. D. 5. 曲线在处的切线如图所示，则＝（ ） A. 0 B. 2 C. －2 D. －1 6. 以椭圆的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 对于下表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是（ ） 1 2 3 3 5.99 12.01 A. B. C. D. 8. 已知函数，则“”是“函数为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. “二进制”来源于我国古代的《易经》，二进制数由数字和组成，比如：二进制数化为十进制的计算公式如下：.若从二进制数、、、中任选一个数字，则二进制数所对应的十进制数大于的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表: 指数值 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在校内测得10月1日—20日指数的数据并绘成折线图如下: 下列叙述正确的是（ ） A. 这天中指数值的中位数略大于 B. 这天中的空气质量为优的天数占 C. 10月4日到10月11日，空气质量越来越好 D. 总体来说，10月中旬的空气质量比上旬的空气质量好 11. 已知直线与抛物线交于，两点，且抛物线上存在点，使得(为坐标原点)，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 12. 对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20分.) 13. 若“，”为真命题，则实数的最大值为_____； 14. 有人发现，多看手机容易使人近视，下表是调查机构对此现象的调查数据： 近视 不近视 总计 少看手机 多看手机 总计 则在犯错误的概率不超过__________的前提下认为近视与多看手机有关系. 附表： 参考公式：，其中. 15. 设椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆上一点，，若原点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为____． 16. 若对任意的，且，，则的最小值是_____. 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）求经过点，焦点在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程. 18. 已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：. （1）若直线与抛物线只有一个公共点，求的值； （2）过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积． 19. 已知函数在处有极值2. （1）求，的值： （2）求函数在区间上的最大值. 20. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部开展了招生改革工作——强基计划.现对某高中学校学生对强基课程学习的情况进行调查，在参加数学和物理的强基计划课程学习的学生中，随机抽取了名学生. （1）在某次数学强基课程的测试中，这名学生成绩的统计数据如茎叶图所示，其中某男生的成绩被污损（为整数），求女生的平均分数超过男生的平均分数的概率. 男生 女生 （2）已知学生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，现统计了小明同学连续次在强基课程测试中的数学和物理成绩（如下表）.若第次测试该生的数学成绩达到，请你估计第次测试他的物理成绩大约是多少？ 数学成绩 物理成绩 附：，. 21. 已知直线：与椭圆：交于，两点. （1）若直线过椭圆的左焦点，求； （2）线段的垂直平分线与轴交于点，求. 22. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）讨论函数的零点个数，并比较零点与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江市高中2022届零模试题 数学（理科） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上.） 1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将复数利用复数的四则运算求解出来，即可得出虚部. 【详解】由题意，得，所以的虚部为， 故选：B． 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用导数公式直接计算求值. 【详解】因为，所以. 故选：C 3. 若双曲线的离心率为，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将双曲线化为标准式，即可表示出，，再根据及离心率为得到方程，解得即可； 【详解】解：因为，所以，即，，所以，因为离心率为，即，解得 故选：D 4. 设命题函数在上为单调递增函数：命题函数为奇函数.则下列命题中真命题是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断命题和的真假，再由复合命题的真假性逐一检验四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】命题函数在上为单调递增函数，是真命题；可得是假命题 ，所以为偶函数， 所以命题函数为奇函数，是假命题，是真命题， 所以，，都是假命题，是真命题， 故选：D. 5. 曲线在处的切线如图所示，则＝（ ） A. 0 B. 2 C. －2 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】设切线方程为，根据切线方程得到关于的方程组，解得，进而得出导数值计算求解. 【详解】设曲线在处的切线方程为， 则解得 所以曲线在处的切线方程为，则切线斜率为1， 所以， 因此，． 故选：C. 6. 以椭圆的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合条件，由椭圆中的参数关系，可以求得a，b，c，写出标准方程即可. 【详解】解：由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则， 椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即， 则，，. 则椭圆的标准方程为：. 故选：C. 7. 对于下表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是（ ） 1 2 3 3 5.99 12.01 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合增长速度及3组数据，进行判断即可． 【详解】根据题意，这3组数据可近似为，，； 得到增长速度越来越快，排除，对于选项，三组数据都不满足， 对于选项，三组数据代入后近似满足， 则模拟效果最好的函数是． 故选：． 8. 已知函数，则“”是“函数为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，利用导数与单调性的关系求出函数为增函数时参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：因为，所以，所以当时，函数在定义域上单调递增，因为，所以“”是“函数为增函数”的充分不必要条件， 故选：A 9. “二进制”来源于我国古代的《易经》，二进制数由数字和组成，比如：二进制数化为十进制的计算公式如下：.若从二进制数、、、中任选一个数字，则二进制数所对应的十进制数大于的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设计算出对应二进制数的十进制数，并判断大于2的数的个数，由古典概型的概率求法即可知任选二进制数所对应的十进制数大于的概率. 【详解】由题意，、、、， ∴只有对应的十进制数大于， ∴任选的二进制数所对应的十进制数大于的概率. 故选：D 10. 空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表: 指数值 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在校内测得10月1日—20日指数的数据并绘成折线图如下: 下列叙述正确的是（ ） A. 这天中指数值的中位数略大于 B. 这天中的空气质量为优的天数占 C. 10月4日到10月11日，空气质量越来越好 D. 总体来说，10月中旬的空气质量比上旬的空气质量好 【答案】B 【解析】 【分析】通过表格可知，数值越大，说明空气污染越严重，质量不好，数值越小空气质量越好.体现在图标上就是点的位置越高空气污染越严重，点的位置越低空气质量越好.可以通过将点计数来确定中位数的大概位置，以及空气质量为优的天数. 【详解】由折线图知以上有个，以下有个，中位数是两边两个数的均值，观察比的数离远点， 因此两者均值大于但小于150,A错; 空气质量为优的有天，占，B正确; 10月4日到10月11日，空气质量越来越差，C错; 10月上旬的空气质量指数值在以下的多， 中旬的空气质量指数值在以上的多， 上旬的空气质量比中旬的空气质量好，D错. 故选：B. 【点睛】对表格和图表的解读是做题的关键，通过对A,B,C,D的逐项判断来选出正确答案. 11. 已知直线与抛物线交于，两点，且抛物线上存在点，使得(为坐标原点)，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合韦达定理，根据求得点P的坐标，然后代入抛物线方程求解. 【详解】设，，， 由，得， 易知，所以，. 由可得， 则， 将其代入抛物线的方程得， 因为，解得. 故选：C 12. 对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可看出在定义域内单调递增，可得出是方程的两个不同根，从而得出，通过求导，求出的值域，进而可得到的范围． 【详解】解：在定义域内单调递增， ， 即， 即是方程的两个不同根， ∴， 设， ∴当时,函数单调递减, 不存在两个根的问题, 时，；时，， ∴是的极小值点， 的极小值为：， 又趋向0时，趋向；趋向时，趋向， 时，和的图象有两个交点，方程有两个解， ∴实数的取值范围是． 故选:C． 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决． 二、填空题（本大题共4小题，共20分.) 13. 若“，”为真命题，则实数的最大值为_____； 【答案】 【解析】 【分析】求出在的最小值即可． 【详解】因为“”为真命题， 所以的最小值， 因为在是增函数，所以的最小值为， 因此即实数的最大值为0. 故答案为：0. 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想及函数的单调性，属于基础题． 14. 有人发现，多看手机容易使人近视，下表是调查机构对此现象的调查数据： 近视 不近视 总计 少看手机 多看手机 总计 则在犯错误的概率不超过__________的前提下认为近视与多看手机有关系. 附表： 参考公式：，其中. 【答案】 【解析】 【分析】根据列联表计算得，进而得答案. 【详解】解:根据列联表计算, 所以在犯错误的概率不超过的前提下认为近视与多看手机有关系. 故答案为： 15. 设椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆上一点，，若原点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为____． 【答案】 【解析】 【分析】由，求得，过作，根据题意得到，根据，得到，整理得到，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】因为，不妨设点，其中， 代入椭圆方程，可得，解得， 所以，即， 过作，因为原点到直线的距离为，即， 由，可得，即， 又由，整理得，即， 因为，解得，即椭圆的离心率为. 故答案为：. 16. 若对任意的，且，，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】将已知不等式变形可得，令，可知在上单调递减；利用导数可求得的单调递减区间，由此可确定的最小值. 【详解】由，得：， 令，则在上单调递减， ，当时，；当时，； 的单调递减区间为，，的最小值为. 故答案为：. 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文科字说明，证明过程或演算步骤.） 17. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）求经过点，焦点在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由题意可设所求双曲线的方程为：，进而待定系数求解即可. 【详解】解：（1）求导得， 所以曲线在点的切线斜率为 所以曲线在点的切线方程为，即. （2）因为所求双曲线为焦点在坐标轴上的等轴双曲线， 故设所求双曲线的方程为： 因为双曲线经过点， 所以 所以双曲线的方程为： 18. 已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：. （1）若直线与抛物线只有一个公共点，求的值； （2）过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，分别讨论当或，即可求解； （2）由抛物线的标准方程可得到焦点坐标，从而得到直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理及即可求解. 【小问1详解】 依题意，联立，消去，得：，即：， ①当时，有：，显然方程只有一个解，满足条件； ②当时，要使得直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 所以，解得：； 综上所述，当或时，直线与抛物线只有一个公共点． 【小问2详解】 由于抛物线：的焦点的坐标为， 所以过点且斜率为的直线方程为：， 设，， 联立，消去，得：， 则由韦达定理得：，， 所以， 所以. 19. 已知函数在处有极值2. （1）求，的值： （2）求函数在区间上的最大值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）对求导，再利用极值的定义得到与，从而列式即可得解； （2）利用导数判断的单调性，再利用的单调性可求得其最大值，从而得解. 【小问1详解】 因为函数在处有极值，且， 所以，解得， 故. 【小问2详解】 由（1）得：，， 又， 令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增 故的最大值是或， 而，， 故函数的最大值是2. 20. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部开展了招生改革工作——强基计划.现对某高中学校学生对强基课程学习的情况进行调查，在参加数学和物理的强基计划课程学习的学生中，随机抽取了名学生. （1）在某次数学强基课程的测试中，这名学生成绩的统计数据如茎叶图所示，其中某男生的成绩被污损（为整数），求女生的平均分数超过男生的平均分数的概率. 男生 女生 （2）已知学生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，现统计了小明同学连续次在强基课程测试中的数学和物理成绩（如下表）.若第次测试该生的数学成绩达到，请你估计第次测试他的物理成绩大约是多少？ 数学成绩 物理成绩 附：，. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由题计算女生的平均分数，设缺失的数据为，则男生的平均数为，进而解得，再根据古典概型求解即可得答案； （2）根据回归方程公式得物理成绩与数学成绩的回归直线方程为，进而预测即可. 【详解】解：（1）由题知女生的平均分数， 设缺失的数据为，则男生的平均数为， 若女生的平均分数超过男生的平均分数，则 解得： 由于污损处的数据是，满足的有 所以女生的平均分数超过男生的平均分数的概率为； （2），， ， ， 所以，物理成绩与数学成绩的回归直线方程为， 当时，， 估计第次测试他的物理成绩大约为分. 21. 已知直线：与椭圆：交于，两点. （1）若直线过椭圆的左焦点，求； （2）线段的垂直平分线与轴交于点，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的方程，求得左焦点，得到直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，以及直线与圆锥曲线的弦长公式，即可求解； （2）设，，得到线段的垂直平分线方程为，将点 代入椭圆的方程，两式相减整理得，再由，两两方程组，求得中点坐标，即可求解. 【详解】（1）由题意，椭圆，可得， 则，左焦点， 则直线的方程为，设，， 联立方程，整理得， 所以，且，， 所以. （2）设，，的中点， 由题知线段的垂直平分线方程为，直线不平行于轴，即， 由，两式相减整理得 ①， 因为是的中点，所以，， 因为，所以， 所以①变形为，解得，所以， 代入直线，可得，解得. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略： 对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）讨论函数的零点个数，并比较零点与的大小. 【答案】（1）在和单调递增，在单调递减； （2）当时，函数只有一个零点，且等于； 当时，函数只有一个零点，且小于； 当时，函数只有一个零点，此时该零点大于； 当时，函数有两个零点，其中一个为零点为，另一个零点大于； 当时，函数有三个零点，三个零点中，两个零点小于，一个零点大于0. 【解析】 【分析】（1），当时，，令得，进而列表求解即可； （2）由题知，进而分，，三种情况讨论求解，其中当时，得 ，，进而对函数极大值分类讨论求解即可. 【详解】解：（1）函数的定义域为，当时，，， 令得， 所以的变换情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在和单调递增，在单调递减. （2）， 当时，，令得，此时函数只有一个零点，且等于； 当时，，在单调递增，由于时，，时，，且，故函数只有一个零点，且小于； 当时，，得， 此时函数在和单调递增，在单调递减， 故函数在取得极大值， ， 在取得极小值，， 故当时，即时，函数只有一个零点，此时该零点大于； 当时，即时，函数有两个零点，其中一个为零点为，另一个零点大于； 当时，即时，函数有三个零点，由于，故三个零点分别分布在区间，，上，故三个零点中，两个零点小于，一个零点大于； 综上，当时，函数只有一个零点，且等于； 当时，函数只有一个零点，且小于； 当时，函数只有一个零点，此时该零点大于； 当时，函数有两个零点，其中一个为零点为，另一个零点大于； 当时，函数有三个零点，三个零点中，两个零点小于，一个零点大于. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，研究函数的零点，考查运算求解能力，逻辑推理能力，分类讨论思想，是难题.本题第二问解题的关键在于分，，三种情况讨论求解，其中当时，再结合函数的极大值与极小值分分布，对函数极大值分类讨论求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $