第一章 第2讲 空间向量在立体几何中的应用 新课讲义-2021-2022学年高二（暑期）数学人教B版选择性必修第一册（原卷版+解析版）

高中数学一轮复习讲义 第十二章 《空间向量与立体几何》讲义 第2讲 空间向量在立体几何中的应用 知识梳理.建立空间直角坐标系与求法向量 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直． 2．空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或x坐标)，y叫做点M的纵坐标(或y坐标)，z叫做点M的竖坐标(或z坐标)． 3．三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}． 二、平面的法向量 1．平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α． 2．平面的法向量的性质 (1)如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量． (2)如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行． (3)如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即n·＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． 3．如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔l⊥α，n⊥v⇔l∥α，或l⊂α． 4．两个平面平行或垂直的判断：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α与β重合⇔n1∥n2；α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 三、三垂线定理及其逆定理 1．射影：(1)已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与平面α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影． (2)图形F上所有的点在平面α内的射影所成的集合F′，叫做图形F在平面α内的射影． 2．三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． 3．三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 题型一. 求平面的法向量 1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为L，G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求平面GEF的一个法向量． 2．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面积ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 题型二. 利用空间向量证明平行与垂直关系 1．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝ABPD＝1． （1）证明：PQ⊥平面DCQ； （2）证明：PC∥平面BAQ． 2．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1＝AD＝1，E为CD中点． （1）求证：B1E⊥AD1； （2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由． 3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为a． （1）求证：平面BDC1∥平面AB1D1 （2）求证：平面A1C⊥平面AB1D1． 4．如图，四棱锥S﹣ABCD中底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD． 知识梳理.异面直线所成角 1．空间中两条直线所成的角 设v1、v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，所以sin θ＝sin〈v1，v2〉，cos θ＝|cos〈v1，v2〉|． 2．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角： 设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2⇔v1⊥v2，cos θ＝|cos〈v1，v2〉|． 3．求两直线所成的角应注意的问题： 在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝．但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取其补角作为两直线的夹