第一章 第1讲 空间向量及其运算 新课讲义-2021-2022学年高二（暑期）数学人教B版选择性必修第一册（原卷版+解析版）

高中数学一轮复习讲义 第十二章 《空间向量与立体几何》讲义 第1讲 空间向量及其运算 知识梳理.空间向量及其运算 一、空间向量的概念 1．空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||． ②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…． 2．几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a．的相反向量： (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 二、空间向量的线性运算 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 　 图1　　　　　 　　　图2 1．加法与减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 2．给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中： (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： ①当λ＞0时，与a的方向相同； ②当λ＜0时，与a的方向相反． (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0． 3．空间向量的线性运算满足如下运算律： 对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb． 三、空间向量的数量积 1．空间向量的夹角： (1)夹角的定义： 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b． 2．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)数量积的运算律： 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 向量a，b的数量积记作a·b，不能表示为a×b或ab，两向量的数量积其结果为实数，而不是向量，其符号由两向量的夹角θ决定，当0≤θ＜时，a·b＞0，当＜θ≤π时，a·b＜0，当θ＝时，a·b＝0.在进行向量的数量积运算时要注意，向量的数量积不满足结合律，也不满足消去律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，a·b＝a·c⇏b＝c. (3)空间两向量的数量积的性质： ①a⊥b⇔a·b＝0； ②a·a＝|a|2＝a2；或|a|＝ ③|a·b|≤|a||b|； ④(λa)·b＝λ(a·b)； ⑤a·b＝b·a(交换律)； ⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． ⑦若θ为a，b的夹角，则cosθ＝； (4)数量积的几何意义 ①向量的投影：如图所示， 过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′. ②数量积的几何意义： a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. 题型一. 空间向量的线性运算——加法、减法、数乘运算 1．下列说法中正确的是（　　） A．若||＝||，则、的长度相同，方向相同或相反 B．若向量是向量的相反向量，则||＝|| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定有 2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（　　） A． B． C． D． 3．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且，，用，，表示，则　 　． 题型二.空间向量的数量积 1．已知空间四边形ABCD的每条边和对