专题2.4三角函数的应用：坡度坡角问题（重难点培优）-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【鲁教版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【鲁教版】 专题2.4三角函数的应用：坡度坡角问题（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2021•拱墅区二模）图1是某公园的一个滑梯，图2是其示意图．滑梯的高BC为2m，坡角∠A为60°，由于滑梯坡角过大存在安全隐忠，公园管理局决定对滑梯进行整改，要在高度不变的前提下，通过加长滑梯的水平距离AB，使得坡角∠A满足30°≤∠A≤45°，则AB加长的距离可以是（　　） （参考数据：1.414，1.732） A．0.8m B．1.6m C．2.4m D．3.2m 【分析】分别求出当坡角为45°、30°时AB加长的距离，进而得出答案． 【解析】如图，在Rt△ABC，∠CAB＝60°，BC＝2， ∴AB， 当坡角为45°时，有BD＝BC＝2， ∴DA＝2﹣AB＝20.85（m）， 当坡角为30°时，有BE2（m）， ∴EA＝BE﹣AB＝22.31（m）， 当坡角满足30°≤∠A≤45°， ∴AB加长的距离x的取值范围为0.85≤x≤2.31， 故选：B． 2．（2021•温州模拟）在台风来临之前，有关部门用两根一样长的钢管加固树木（如图），已知固定点A离地面的高度AC为3米，钢管与地面所成夹角为θ，则两根钢管底部之间的距离BD为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【分析】由题意得：AB＝AD，AC⊥BD，再由等腰三角形的性质得BC＝DC，然后由锐角三角函数定义得BC，即可求解． 【解析】由题意得：AB＝AD，AC⊥BD， ∴BC＝DC， 在Rt△ABC中，tanθ， ∴BC， ∴BD＝2BC， 故选：C． 3．（2021•广东二模）如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h＝60m，迎水斜坡AB＝100m，斜坡的坡角为a，则tanα的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用勾股定理得出BC，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【解析】过点A作AC⊥BD，垂足为C， ∵坝高h＝60m，迎水斜坡AB＝100m， ∴BC ＝80（m）， 则tanα的值为：． 故选：B． 4．（2021•邯郸三模）如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB，AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度BC的长为3.5米，则该大灯距地面的高度为（　　） （参考数据：sin8°，tan8°，sin10°，tan10°） A．3.5米 B．2.5米 C．4.5米 D．5.5米 【分析】过点A作AD⊥MN于点D，由锐角三角函数的定义得出BD≈7AD，CDAD，再由BD﹣CD＝BC，得7ADAD＝3.5，即可得出答案． 【解析】过点A作AD⊥MN于点D，如图所示： 在Rt△ADB与Rt△ACD中，tan∠ABDtan8°， tan∠ACDtan10°， ∴BD≈7AD，CDAD， ∵BD﹣CD＝BC， ∴7ADAD＝3.5， 解得：AD＝2.5， 即该大灯距地面的高度2.5米， 故选：B． 5．（2020秋•二道区期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（　　） A．6m B．3m C．9m D．6m 【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB． 【解析】∵迎水坡AB的坡比为1：， ∴，即， 解得，AC＝3， 由勾股定理得，AB6（m）， 故选：A． 6．（2021•杭州模拟）如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα，BB'＝1m，则cosβ＝（　　） A． B． C． D． 【分析】在直角△ABC中，由tanα，可设AC＝4x，那么BC＝3x，根据勾股定理求出AB＝5x，那么A′B′＝AB＝5x．在直角△A′B′C中，根据勾股定理列出方程（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，求出x＝1，然后利用余弦函数的定义即可求解． 【解析】如图．∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，tanα， ∴可设AC＝4x，那么BC＝3x， ∴AB5x， ∴A′B′＝AB＝5x． ∵在直角△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝4x﹣1，B′C＝3x+1， ∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2， 解得x＝1， ∴A′C＝3，B′C＝4，A′B′＝5，