【精品奥数】六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-数论问题-约数个数与约数和定理 通用版（含答案）

六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-数论问题-约数个数与约数和定理 【知识点归纳】 约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×pk那么： n的约数个数公式：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1） n的所有约数和：f（n）=（p10+p11+p12+…p1a1）（p20+p21+p22+…p2a2）…（pk0+pk1+pk2+…pkak） 【经典题型】 例1：105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（　　） A、4个           B、6个           C、8个           D、10个 分析：根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，然后解答可得出答案． 解：105=3×5×7， 共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）约数， 答：它的约数共有8个． 故选：C． 点评：此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数． 例2：恰有20个因数的最小自然数是（　　） A、120          B、240          C、360         D、432 分析：首先把20拆成几个数的乘积，利用求约数个数的方法，从最小的质因数2考虑，依次增大，找出问题的答案即可． 解：20=20=2×10=4×5=2×2×5； 四种情况下的最小自然数分别为：：219、29×3、24×33、24×3×5，其中最小的是最后一个24×3×5=240． 故选：B． 点评：此题巧用求一个数约数的方法，从最小的质因数着手，分析不同的情形，得出结论． 一．选择题 1．a＝3×5×7，a的因数有（　　）个。 A．4 B．7 C．8 D．6 2．如果M＝A×B×C（A，B，C为不同的质数），则M的因数有（　　）个． A．3 B．6 C．8 D．9 3．类似6、28、496、8128…的数称之为完美数，因为这些数的所有因数的和正好等于它本身的2倍，如1+2+3+6＝6×2．则完美数496有（　　）个因数． A．8 B．9 C．10 D．12 4．105可以分解成105＝3×5×7，它的约数共有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 5．a＝3×5×7，a的因数一共有（　　）个． A．6 B．7 C．8 6．一个两位数由3个不同的质数相乘得到，这个数的因数共有（　　）个． A．3 B．5 C．8 二．填空题 7．某自然数是3和4的倍数，包括1和它本身在内共有10个因数，那么这个自然数是　 　。 8．要将30个苹果放入篮子里．如果每次放入的个数相同，在若干次后能够刚好放完，一共有　 　种拿法． 9．有两个数，一个有9个约数，一个有10个约数，它们的最小公倍数是2800，求这两个数分别是　 　． 10．自然数N有很多个因数，把它的这些因数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为196，N有　 　个因数． 11．60有　 　个不同的因数． 12．a、b、c为三个不为0和1的不同自然数M＝a×b×c，则M的因数至少有　 　个． 13．A、B两数都只含有质因数3和2，它们的最大公约数为36，已知A有12个约数，B有9个约数．那么A+B的最小值是　 　． 14．一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是a，b，c，d，e，f．已知a+f＝46，那么b+e＝　 　． 三．判断题 15．360的正约数个数有24个．　 　 16．36有10个不同的因数．　 　 四．解答题 17．因数和是指一个数所有因数的和，例如“6”的因数和是1+2+3+6＝12． （1）24的因数和是多少？ （2）一个自然数有5个因数，求因数和最小是多少？ （3）一个数的因数和是78，求这个数是多少？ 18．360有多少个因数？所有因数的和是多少？ 19．求a＝4×6×8×51×91的因数的个数 20．某自然数是3和4的倍数，包括1和本身在内共有10个约数，那么这个自然数是多少？ 21．8的因数有1、2、4、8共4个，9的因数有1、3、9共3个，那么72的因数共有多少个？ 六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-数论问题-约数个数与约数和定理 参考答案 一．选择题 1．解：a＝3×5×7 共有（1+1）×（1+1）×（1+1）＝8（个）因数， 答：a的因数共有8个。 答案：C。 2．解：M＝A×B×C 共有：（1+1）×（1+1）×（1+1）＝8（个） 答：M的因数共有8个． 答案：C． 3．解：496＝2×2×2×2×31＝24×31 （4+1）×（1+1） ＝5×2 ＝10（个） 答：完美