【精品奥数】六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-数论问题-完全平方数性质 通用版（含答案）

六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-数论问题-完全平方数性质 【知识点归纳】 1．完全平方数定义：完全平方即用一个整数乘以自己例如1×1，2×2，3×3等等，依此类推．若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数． 2．性质： 性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9． 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数． 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数． 性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1． 性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型． 性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1． 性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型． 性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m，16m+1，16m+4，16m+9． 性质9：完全平方数的数字之和只能是0，1，4，7，9． 【经典题型】 例1：一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数．则a的最小值是（　　） A、30 B、20 C、120 D、60 分析：一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，所以将1080×a的乘积分解质因数后，其质数的指数一定全为偶数，据此分析解答即可． 解：因为1080×a是一个完全平方数，所以乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数； 而1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数， 所以，a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5=30． 故选：A． 点评：明确完全平方的数的质因数的指数为一定全为偶数是完成本题的关键． 【解题思路】 据0-9的平方，所以完全平方数个位不能为2，3，7，8，故19*8被排除； 如果个位数字是5，其平方数为个位是5，十位则为2，所以**45被排除； 个位为1或9时，完全平方数的个位为1，通过试探，23*1也不是完全平方数； 综上，只有3*49是完全平方数，即572=3249． 解：①完全平方数个位不能为2，3，7，8，故19*8被排除； ②如果个位数字是5，其平方数为个位是5，十位则为2，所以**45被排除； ③个位为1或9时，完全平方数的个位为1，通过试探，23*1也不是完全平方数； 因此，只有3*49是完全平方数，即572=3249． 故选：D． 点评：此题通过寻找规律，根据完全平方数的性质，运用排除法进行解答． 一．选择题 1．有一堆草莓，比40个多，比50个少，分的份数与每份的个数同样多，这堆草莓有（　　）个． A．42 B．45 C．49 2．一个数与它自身的乘积称为这个数的平方，各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有（　　）个． A．15 B．18 C．20 D．21 3．下面的数中，（　　）是完全平方数． A．8 B．9 C．6 二．填空题 4．连续1999个自然数之和恰是一个完全平方数．则这1999个连续自然数中最大的那个数的最小值是　 　． 5．从1、2、3…10这十个数中选出9个数，使得选出的9个数之和为完全平方数（完全平方数是指可以表示为一个整数的平方的数，比如9＝32，所以9就是完全平方数），则没有被选出的数是　 　． 6．小军读一本书，如果每天读80页，需要4天多读完；如果每天读90页，需要3天多读完；如果每天读a页，刚好a天读完，则每天应读　 　页． 7．一个自然数可以分解为三个质因数的积，如果三个质因数的平方和是7950，这个自然数是　 　． 8．已知x2+y2＝2，x+y＝1，则xy的值是　 　 9．一个十位数3333333333的平方数中有　 　个数字是奇数． 10．有　 　个五位数，加上2003后为完全平方数． 11．在1991，1992，1993，1994，1995，1996，1997这七个数中，不能写成两个自然数的平方差的数是　 　． 三．判断题 12．如果一个完全平方数可以被5整除，则其末两位一定是25．　 　 13．三（1）班有39名学生，做操时能排成正方形队伍　 　． 四．计算题 14．给小朋友分糖，总颗数在30～40之间，如果每人分到的颗数和小朋友的人数同样多，还差5颗．算一算共有多少颗糖？ 15．427+41000+4n为完全平方数，求n的值． 五．解答题 16．排一排，算一算： （1）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？ （2）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？ 17．在前1000个自然数中，既不是平方数也不是立方数的自然数有多少个？ 18．能否找一个自然数n是完全平