【精品奥数】六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-数论问题-同余定理 通用版（含答案）

六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-数论问题-同余定理 【知识点归纳】 所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数．d数学上的称谓为模．如a=6，b=1，d=5，则我们说a和b是模d同余的．因为他们都有相同的余数1． 【经典题型】 例1：一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（　　） A、78 B、88 C、98 D、90 分析：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；由此用排除法求解． 解：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数； A、7+8=15；15是3的倍数，所以78是3的倍数，故A错误； D、5的倍数的个位数都是0或5的整数，90的个位数字是0，那么是5的倍数，故D错误； BC、而这个数的末尾应是3或8；B和C都符合，只要再看哪个数除以3余1即可． 88÷3=29…1； 98÷3=32…2； 88除以3余1，所以88符合要求． 故选：B． 点评：本题先根据余数的特点，找出这个数的可能性，再利用排除法进行求解． 例2：有一整数，除300，262，205得到的余数相同，这个整数是（ ）． 分析：这个数除300、262，得到相同的余数，所以这个数整除300-262=38，同理，这个数整除262-205=57以及300-205=95，因此，求出38、57、95的最大公约数1即是所求结论． 解：300-262=38，2 62-205=57， 300-205=95． 38，57，95的最大公约数是19．这个整数是19． 故答案为：19． 【解题方法点拨】 同余式定律6的应用，我们知道一个数的各个位数之和如果能被3整除那么这个数也能被3整除，如12，因为1+2=3能被3整除，所以12也能被3整除．如果我们利用定律6，就可以找出任何一个数能被另一个数整除的表达式来． 如我们用11来试试，11可以表示为10+1，所以有同余式： 10≡-1 （mod 11） 把上式两边都乘以各自，即： 10×10≡（-1）（-1）=1 （mod 11） 10×10×10≡（-1）（-1）（-1）=-1 （mod 11） 10×10×10×10≡1 （mod 11） 我们可以发现，任何一个（在十进制系统中表示的）整数 如果它的数码交替到变号之和能被11整除，这个数就能被11整除，如1353这个数它的数码交替变号之和为：1+（-3）+5+（-3）=0，因为0能被11整除，所以1353也能被11整除．其他的数的找法也一样，都是两边都乘以各自的数，然后找出右边的数的循环数列即可． 一．选择题 1．一箱桃子有40多个，如果把这箱桃子每8个装一盒，还剩5个；如果每10个装一盒，也剩余5个，这箱桃子有（　　）个。 A．40 B．45 C．48 2．一堆彩色玻璃球，二个二个一数余1个，三个三个一数余1个，五个五个一数也余1个，则这一堆玻璃球至少有（　　）个． A．11 B．16 C．21 D．31 二．填空题 3．A÷2＝c……1，A÷3＝d……1，A÷5＝e……1，c，d、e均为非零自然数，则A最小是　 　。 4．某民兵连在操场上列队，只知道人数在90～110之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，共有民兵　 　人． 5．已知69、90、125、被N除，余数相同（不为0），那么81被N除余数是　 　． 6．一个数去除68、131、250所得的余数相同，这个数应是　 　． 7．有甲、乙、丙、丁四个数．甲数除以4商2011余2，乙数除以8商2011余4，丙数除以12商2011余6，丁数除以16商2011余8．那么甲、乙、丙、丁四个数的总和除以4的商是　 　． 8．六（1）班同学分组游戏，每组3人多1人，每组4人少3人，每组5人少4人，这个班至少有　 　人． 9．小丽有一些画片，比20张多，比40张少，如果按5张一组来数，剩4张；如果按3张一组来数，剩1张．小丽有画片　 　张． 10．有一个不等于1的正整数，除1773、1888、1957、2003，得到相同的余数，则这个正整数是　 　． 三．应用题 11．一堆苹果不少于10个，三个三个的数，四个四个的数，五个五个的数都多两个，这堆苹果最少有多少个？ 12．某个大于1的整数除41、11得到的余数相等，那么这个整数可能是几？ 四．解答题 13．用151、197、238分别除以同一个整数，所得3个余数的和是31，这个整数是几？ 14．某数被7除余1，被4除余3，求：（1）满足条件的最小整数；（2）100以内满足条件的所有这些数． 15．在小于1000的自然数中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然数是几？ 16．有一个不等于1的整数，它除967，10