专题二 实数-2021-2022学年八年级数学上册专题分类考点培优（北师大版）

八年级北师大版上册第二章培优专题 一、分母有理化 1．化简（x≠y，且x、y都大于0），甲的解法；==﹣；乙的解法：==﹣，下列判断正确的是（　　） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 【答案】C 【分析】 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式，或者运用因式分解和约分． 【详解】 甲的解法：==﹣利用平方差公式进行分母有理化，正确； 乙的解法：==﹣，利用因式分解进行分母有理化，正确. 故选C． 【点睛】 本题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，分母有理化是指把分母中的根号化去． 2．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； . 以上这种化简过程叫做分母有理化. 还可以用以下方法化简：. （1）请用其中一种方法化简； （2）化简：. 【答案】(1) ＋；(2) 3－1. 【分析】 (1)运用了第二种方法求解，即将4转化为； （2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】 （1）原式==； （2）原式=+++… =﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1 =3﹣1 二、实数与数轴 3．如图，已知Rt△ABC中,BC=1,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为_______. 【答案】1- 【解析】 根据勾股定理可知AC==，可知AD=，所以D点的坐标为1-. 故答案为1-. 点睛：此题主要考查了实数与数轴的对应关系，解题关键是先根据勾股定理求出AC=AD，然后根据距离的变化和实数的加减求出即可. 三、二次根式的综合应用 4．如果，那么的值是________. 【答案】12 【解析】 【分析】 根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式求出x的值，代入已知式子求出y的值，计算即可. 【详解】 根据二次根式的定义，得且， 所以， 解得， ∴， 所以. 【点睛】 本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数必须是非负数是解题的关键. 5．当时，则________. 【答案】 【分析】 根据a的取值范围，可以确定及的范围，原式可化为形式，根据取值范围即可得出. 【详解】 ∵ ∴ ∴ 【点睛】 本题考查完全平方式的灵活应用，注意平方根的性质，再去根号时一定要主要根号下括号内的正负性，避免符号错误. 6．已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的值. 【答案】 【解析】 【分析】 首先确定a、b的值，然后代入计算. 【详解】 解：∵，即. ∴，. ∴. 【点睛】 本题考查了估算无理数的大小，估算的方法一般是利用完全平方数和算术平方根的知识，用逼近法确定无理数的整数部分. 7．已知x＋y＝－3，xy＝2，求的值． 【答案】 【分析】 根据已知条件可知，x，y是负数，再由二次根式的性质化简，把原式用x+y和xy表示. 【详解】 ∵x＋y＝－3，xy＝2， ∴x＜0，y＜0， ∴原式=. 【点睛】 本题主要考查了二次根式的乘除法法则的加减法法则，先要根据式子，找出题目中的隐含条件，判断所含字母或式子的符号，再结合二次根式的定义和运算法则，把式子用x+y和xy表示，再整体代入求值. 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，请化简：－－. 【答案】．0 【分析】 根据a、b在数轴上的位置，判断a、b、a-b的符号，然后根据二次根式的性质求解即可. 【详解】 . 【点睛】 此题主要考查了二次根式的性质，关键是利用数轴判断a、b、a-b的符号. 9．已知实数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示. 请化简： 【答案】．-a 【解析】 【分析】 利用数轴得出a＜0，a+b＜0，b+c＜0，c-a＞0，进而化简各式得出答案． 【详解】 由题中数轴可知，，，，且， 所以，，， 所以， 【点睛】 此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a，，，的符号，然后根据二次根式的性质分别去掉根号和绝对值符号. 10． 已知：(2x+5y+4) 2+|3x-4y-17|=0，求的平方根． 【答案】±2 【详解】 【分析】根据非负数的性质可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组后把x、y的值代入式子进行求解即可得. 【详解】由题意，得：， 解得：， ∴==4， 则的平方根为±2． 【点睛】本题考查了非负数的性质、解二元一次方程组、求平方根等，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键. 11．已知，求的值 【答案】2019 【分析】 根据二次根式的性质求出m≥2019，再化简绝对值，根据平方运算，可得答案． 【详解】 ∵