第03讲 对数与对数运算（考点讲解+分层训练）-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）

第03讲 对数与对数运算 【学习目标】 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算 2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数． 【知识结构】 【考点总结】 一、对数的概念[来 (1)定义：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 在对数logaN中规定a＞0，且a≠1，N＞0的原因 (1) 若a＜0，则N为某些数值时，x不存在， 如式子(－3)x＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在，因此规定a不能小于0； (2)若a＝0，且N≠0时，logaN不存在；N＝0时，loga0有无数个值，不能确定，因此规定a≠0，N≠0； (3)若a＝1，且N≠1时，x不存在；而a＝1，N＝1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1； (4)由ax＝N，a＞0知N恒大于0． (2)特殊对数 名称 记法 说明 常用对数 lg N 以10为底的对数，并把log10N记为lg N 自然对数 ln N 以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N (3)对数的性质 根据对数的概念，对数logaN(a＞0，且a≠1)具有以下性质： 性质 说明 零和负数没有对数，即N＞0 当a＞0，且a≠1时，ax＞0，即N＝ax＞0，所以对数logaN只有在N＞0时才有意义 1的对数等于0，即loga1＝0 因为a0＝1，由对数的定义得0＝loga1 底的对数等于1，即logaa＝1 因为a1＝a，由对数的定义得1＝logaa (4)对数与指数的互化关系 当a＞0，且a≠1时．如图所示： 比如：43＝643＝log464；log525＝252＝25；以前无法解的方程2x＝3，学习了对数后就可以解得x＝log23． 根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式． 指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段． 二、对数的运算性质 (1)对数的运算性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(nR)． 对对数的运算性质的理解　 (1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的． (2)巧记对数的运算性质： ①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积； ②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差； ③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数． (2)对数的运算法则与指数的运算法则的联系 式子 ab＝N logaN＝b 运算 性质 am·an＝am＋n loga(MN)＝logaM＋logaN ＝am－n ＝logaM－logaN (am)n＝amn logaMn＝nlogaM 三、对数运算性质推导的基本方法 利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“loga(MN)＝logaM＋logaN”的推导：设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，于是MN＝am·an＝am＋n，因此loga(MN)＝logaM＋logaN＝m＋n． 换底公式 (1)公式logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞0)． (2)公式推导： 设，则logcb＝xlogca＝logcax， ∴b＝ax．∴x＝logab．∴＝logab． (3)公式的作用 换底公式的作用在于把以a为底的对数，换成了以c为底的对数，特别有：，，利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的值． (4)换底公式的三个推论：①(a，N＞0，且a≠1，m≠0，m，nR)；②logab＝(a，b＞0，且a，b≠1)；③logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c＞0，且a，b，c≠1，d＞0)． 证明：①logamNn＝． ②logab＝． ③logab·logbc·logcd＝＝logad． 四、对数定义中隐含条件的应用 根据对数的定义，对数符号logaN中实数a和N满足的条件是底数a是不等于1的正实数，真数N是正实数，即 因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件． 对数概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数相互联系，深刻理解对数与指数之间的关系，将有助于掌握对数的概念． 【例题解析】 题型一　利用对数的运算性质化简、求值 【例1】　计算下列各式的值： (1)lg－lg ＋lg； (2)lg 25＋lg 8＋lg 5