课时12.3 角的平分线的性质-2021-2022学年八年级数学上册链接教材精准变式练（人教版）

课时12.3 角的平分线的性质教材知识链接 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等。 证明几何问题的基本步骤: 1.明确命题中的已知和求证。 2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证。 3.经过提示，找出由已知推出要证的结论和途径，写出证明过程。 典例及变式 典例1．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】 作DE⊥AB于E， ∵AB=10，S△ABD =15， ∴DE=3， ∵AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB， ∴DE=CD=3， 故选A. 变式1-1．（2021·保定市八年级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　） A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 【答案】B 【详解】 作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC， ∵DE=DG， ∴DM=DE， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DE=DN， ∴△DEF≌△DNM， ∵△ADG和△AED的面积分别为50和39， ∴S△MDG=S△ADG﹣S△AMG=590﹣39=11， S△DNM=S△DEF=S△MDG==5.5 变式1-2．（2021·湖南株洲市·八年级期中）如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】 试题提示：如图，过点P作PE⊥OB于点E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，∴PE=PD，∵PD=6，∴PE=6，即点P到OB的距离是6．故选A． 变式1-3．（2021·河北唐山市·八年级期末）如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC=10 cm，则△DEC的周长是（ ） A．8 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm 【答案】B 【提示】 根据角平分线的性质,得AD=DE,利用HL判定△BAD≌△BED, 得出AB=BE,进而得出BC=DE+DC+EC=10cm. 【详解】 解:BD平分∠ABE,DE⊥BC,DA⊥AB AD=DE 又BD=BD，△BAD≌△BED (HL) AB=BE 又AB=AC BE=AC BC=BE+EC=AC+EC=AD+DC+EC=DE+DC+EC=10cm △DEC的周长是10cm, 故选B. 【名师点拨】 本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质等知识. 要通过全等把相等的线段转到转到一个三角形中. 典例2．（2021·广西玉林市·八年级期末）如图，已知于点，于点，且，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】 先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠CDA的度数，即可求解． 【详解】 解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC， ∴AD是∠BAC的平分线， ∵∠BAC=40°， ∴∠CAD=∠BAC=20°， ∴∠CDA=90°-20°=70°， ∵， ∴∠CDG=∠ADG-∠CDA=130°-70°=60°． 故选：D． 【名师点拨】 本题考查了角平分线的判定与直角三角形的两锐角互余的性质，仔细提示图形是解题的关键． 变式2-1．（2021·黑龙江鸡西市·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS.下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】 ∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上，故①正确； 由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS=AR，故②正确； ∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正确； 由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，∵①②③④都正确，故选D． 名师点拨：本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键． 变式2-2．（2021·吉林白山市·八年级期末）如