专题02 三角恒等变换与解三角形（重难点突破）-【教育机构专用】2021年暑期高一升高二数学辅导讲义（人教A版）

专题02 三角恒等变换与解三角形 知识网络 重难点突破 知识点一 同角三角函数关系与诱导公式 例1．（1）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用平方关系和诱导公式求解. 【详解】 因为且， 所以， 故， . 故选：B （2）．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 找到问题中的角和条件中的角的关系，利用余弦的二倍角公式求得结果. 【详解】 故选：B 【变式训练1-1】．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先对化简，可得的值，再变形，代值求解可得结果 【详解】 解：由，得，得， 所以， 故选：A 【变式训练1-2】．已知，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先根据诱导公式化简原式，然后根据同角三角函数的基本关系求解出的值，则结果可求. 【详解】 原式， 因为，，所以，解得， 所以原式， 故选：C. 知识点二 和差公式与二倍角公式的应用 例2．（1）已知，且，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由余弦的二倍角公式和两角差正弦公式可得， 结合求出的值，再根据正切的二倍角公式即可. 【详解】 ， 故， 又因为，且． 故，或，，则或， 故， 故选：D． （2）．已知，，，． （1）计算； （2）计算． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用同角三角函数关系式先求的值，再结合二倍角公式求和的值，从而求的值； （2）结合二倍角公式及两角差的余弦公式即可直接求解. 【详解】 （1）因为，，所以， 所以， 因为，所以， 所以. （2）因为，，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，， 所以 知识点三 三角函数的图像与性质（平移、伸缩） 例3．（1）函数的图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由图象求得最小正周期，函数过点，代入可得选项. 【详解】 由图可知，，所以﹐ 又函数过点，所以，解得， 又，所以. 故选：A． （2）．要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点（ ） A．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度 B．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，向左平移个单位长度 C．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度 D．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度 【答案】B 【分析】 由题意利用函数的图象变换规律，得出结论． 【详解】 解：只需将函数的图象上所有的点，横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象；再向左平移个单位长度，可得函数的图象， 故选：． （3）．已知函数，则（ ） A．f(x)的最小正周期为2 B．f(x)在区间上单调递增 C．f(x)的图象关于点对称 D．要得到函数y＝2cos2x－1的图象，只需将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】 将函数转化为，再逐项判断. 【详解】 ，所以f(x)的最小正周期，A不正确． 当时，，f(x)不单调，B不正确． 令，解得，且，所以f(x)图象的对称中心为，C不正确． ，D正确． 故选：D 例4．已知函数． （1）当时，求的单调递减区间； （2）设函数，若对于任意的、都有，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）当时，化简函数解析式为，然后解不等式，可求得函数的单调递减区间； （2）求得函数在区间上的值域为，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在区间上的值域，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【详解】 （1）． 当时，． 令，解得． 故的单调递减区间为； （2）当时，． 当时，，所以． 当时，． 因为，所以或，解得或； 当时，，所以． 因为，所以恒成立，所以符合题意． 综上，的取值范围是． 知识点四 三角恒等变换 例5．（1）函数的最大值为___________. 【答案】 【分析】 根据差的余弦公式和辅助角公式化简可得. 【详解】 ， 则当时，取得最大值为. 故答案为：. （2）．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据三角函数平移变换法则可得函数的解析式，令，即可求出． 【详解】 依题意可知，， 令，解得．所以时，． 故选：C． 例6．已知三角形ABC中，、是方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）求的最小值，并指出此时对应的实数a的值． 【答案】（1）；（2），最小值为． 【分析】 （1）根据韦达定理，可得，的值，根据诱导公式及两角和的正切公式，化简整理，即可得答案. （2）根据题意及韦达定理，分析可