专题01 平面向量（重难点突破）-【教育机构专用】2021年暑期高一升高二数学辅导讲义（人教A版）

专题01 平面向量 知识网络 重难点突破 重难点突破一 三角形的法则与平行四边形的法则 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则　　　 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 常用结论 (1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，则＝(＋). (2)O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0.　 　 例1．（1）（2021·福清西山学校高一月考）在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】 根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】 该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. （2）．（2021·南京师范大学附属扬子中学高三其他模拟）设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ∵ ∴−=3(−)； ∴=−. 故选A. 【变式训练1-1】．（2020·安徽滁州市·高三月考（文））如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果． 【详解】 画出图形，如下图． 选取为基底，则， ∴． 故选C． 【点睛】 应用平面向量基本定理应注意的问题 （1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便． （2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算． 【变式训练1-2】．（2021·河北高三月考）我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用平面向量的加法法则和数乘向量求解. 【详解】 由题得 即，解得，即， 故选：B 【点睛】 方法点睛：向量的线性运算，一般主要考查平面向量的加法、减法法则、平行四边形法则和数乘向量，要根据已知条件灵活运算这些知识求解. 例2．（2021·浙江高一期末）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O. （1）设，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）由三点共线，得，又由，得，由此解得，即可得到本题答案； （2）根据平面向量数量积的运算，逐步化简，即可得到本题答案. 【详解】 （1）因为三点共线，所以， 设，所以， 所以，解得； 所以，， 所以； （2）因为 又， 所以， 得， 即. 【点睛】 本题主要考查平面向的数量积和平面向量的线性运算，考查学生的分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力. 重难点突破二 平面向量的的坐标运算 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算 运算 坐标表示 和(差) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 已知a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)，其中λ是实数 任一向量的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 3.向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤≤180° 或θ＝⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b 4.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||