1.1.1空间向量及其线性运算（学案）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第一章空间向量与立体几何 第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其线性运算 学习目标]1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念(重点).2.经历由平面向量的运算及其法则推广到 空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算(重点).4.理解并会应用空间向量共线、共面的充要条件(难点) 课前·教材预案 要点四空间中的共线向量 1.空间向量共线的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠ 要点一空间向量的有关概念 0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 1.定义:在空间,具有 和 的量叫做空间向量.2.方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向 2.长度或模:向量的 量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及 3.表示方法 向量共线的充要条件可知,存在实数 使得 (1)几何表示法:空间向量用 (2)字母表示法:用字母a,b,C,…表示;若向量a的起点是 ,我们把与向量a 的非零向量称为 直线l的 A,终点是B,也可记作AB,其模记为 或 要点二特殊的空间向量 名称 定义及表示 思考:由数乘=0,能否得出λ=0? 零向量规定 的向量叫做零向量,记为0 单位向量 的向量叫做单位向量 与向量a长度 而方向 相反向量,叫做a的相反向量,记为-a 的向 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 要点五空间中的共面向量 共线向量 那么这些向量叫做共线向量或 平行向量.规定:零向量与任意向量 ,:1.向量和直线平行:如果表示向量a的有向线段OA所在的直 即对于任意向量a,都有0 线OA与直线 那么称向量a平行于直线l 方向 且模 的向量称为相等向 2.向量和平面平行:如果表示向量a的有向线段OA所在的直 相等向量量在空间, 且 的有向线段表 线OA平行于平面a或在平面a内,那么称向量a 示同一向量或相等向量 :平面a 3.共面向量 同一个平面的向量,叫做共面向量 要点三空间向量的线性运算 4.空间向量共面的充要条件:如果两个向量a,b不共线,那么 1.定义 向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数 如图,定义空间向量的加法、减法以及数乘运算: (1)a+b=OA+AB=OB 思考:若向量p,a,b满足p=a+b,那么向量p,a,b共 (2)a-b=OA-OC=CA (3)当x>0时,=OA=F;当x<0时,=AOA=MN; 当A=0时,a=0. 2.运算律(其中A,p∈R) 辨析 (1)交换律:a+b= 判断正误,正确的打“√”,错误的打“ (2)结合律:(a+b)+c (1)零向量没有方向 (3)分配律:(+p)a ,A(a+b)= (2)两个有公共终点的向量,一定是共线向量 第一章空间向量与立体几何 考点三向量的共线问题 考点四向量的共面问题 规律总结 规律总结 解决与共线向量有关的问题时,要把握向量共线的充要 (1)证明向量共面,可以利用共面向量的充要条件,也可 条件,即对空间任意两个向量a,b(b≠0),a与b共线的充 以直接利用定义,通过线面平行或直线在平面内进行 要条件是存在实数λ,使a=b 明 (2)向量共面时向量所在的直线不一定共面,只有这些向 【例题3】如图所示,四边形ABCD,ABEF 量都过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终 都是平行四边形且不共面,M,N分别 点共面) 是AC,BF的中点,判断CE与MN是否 例题4】已知非零向量e,e2不共线,如果AB=e1+e2,AC= 2e1+8e2,AD=3e1-3e2,求证:A,B,C,D四点共面 【变式3】如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与 面ACD的重心,G为AM上一点,且GM:GA=1:3.求 证:B,G,N三点共线 【变式4】如图,正方体ABCD-A1BCD1中,E,F分别为BB1和 A1D1的中点.证明:向量A1B,B1C,EF是共面向量 数学选择性必修第一册课堂学案 3.下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是 课末·随堂演练 A OM=2OA-OB-OC 1.(多选)下列命题中,正确的是 BOM=÷O4+OB+OC A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 B.若向量a,b平行,则a,b所在的直线平行 C MA+MB+MC=0 C.只有零向量的模等于0 D.相等向量其方向必相同 4.如图,在直三棱柱ABC-A1BC中,若CA-a, 2.已知空间向量a,b互为相反向量,且|b=3,则下列结论正 CB=b,CC1=C,则A1B= 确的是 表示) B.a+b为实数0 C.a与b方向相同 友情提示完成P课时作业(-) 1.2空间向量的数量积运算 学习目标]1.掌握空间向量的数量积(重点).2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.3.数量积在空间中的简单应用