1.1.2空间向量的数量积运算（学案）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

数学选择性必修第一册课堂学案 3.下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是 课末·随堂演练 A OM=2OA-OB-OC 1.(参选)下列命题中,正确的是 BOM=÷O4+OB+OC A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 B.若向量a,b平行,则a,b所在的直线平行 C. MA-+MB+MC=0 C.只有零向量的模等于0 D.相等向量其方向必相同 4.如图,在直三棱柱ABC-A1BC1中,若CA=a, 2.已知空间向量a,b互为相反向量,且b|=3,则下列结论正 CB=b,CC1=C,则A1B= (用a,b,c 确的是 表示) B.a+b为实数0 C.a与b方向相同 D.a|=3 友情提示完成P课时作业(-) 1.1.2空间向量的数量积运算 学习目标]1.掌握空间向量的数量积(重点).2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.3.数量积在空间中的简单应用 (重难点) 课前·教材预案 (3)cos(a b) (4)a·b≤a|·|bl 要点一空间向量的夹角 要点三向量a的投影和投影向量 1.定义 1.如图(1),在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向 如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a 量,因此可以先将它们平移到同一个平面a内,进而利用平 OB=b,则 叫做向量a,b的夹角,记作 面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=acos(a, b)b,向量c称为 在 上的 2.如图(2),向量a向平面投影,就是分别由向量a的起点A 和终点B作平面B的垂线,垂足分别为A,B,得到向量 2.向量a,b的夹角(a,b)的范围是如果ab〉 A'B,向量AB称为向量a在平面B上的投影向量这时,向 那么称向量a,b互相 量a,AB的夹角就是向量a所在直线与平面所成的角 思考:当(a,b)=0和(a,b)=x时,向量a与b有什么关系 要点四空间向量的数量积满足的运算律 (1)(a)·b 要点二空间向量的数量积 (2)交换律:a·b 1.定义 (3)分配律:(a+b)·c 已知两个非零向量a,b,则 叫做a,b的数量>思考:数量积的运算满足结合律吗? 积,记作a·b,即a·b 性质 (1)若a,b是非零向量,则a⊥b→ (2)若a与b同向,则a·b=a·b;若反向,则a·b= a|·|b.特别地,a·a= 第一章空间向量与立体几何 辨析 【变式1】已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1为 判断正误,正确的打“√”,错误的打“× 上底面A1B1CD的中心,求下列向量的数量积 (1)向量AB与CD的夹角等于向量AB与DC的夹角. )(1)A·AC;(2)AO·AB:3)A1方·B (2)若向量AB与CD的夹角为a,则直线AB与CD所成的角 也为α (3)对于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c). (4)对任意向量a,b,满足a·b≤a||b 课堂·深度拓展 考点一数量积的计算 规律总结 (1)已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积公式 计算 (2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可 以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·a=a|2 及数量积公式进行计算 【例题1】已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2 AD=4,E为侧面AA1B1B的中心,F为A1D的中点,求 下列向量的数量积 ED1;(2)BF·AB1;(3)EF·FC1 考点二用数量积求角和距离 规律总结 (1)找两向量的夹角的关键是把两向量平移到一个公共 的起点,找到向量的夹角,再利用解三角形求角,注意向 量夹角的范围是[0,丌] (2)利用数量积求异面直线所成角的方法步骤:①根据题 设条件在两异面直线上取两个向量;②将求异面直线所 成角转化为求向量的夹角问题;③利用数量积求角的大 小,注意异面直线所成角的范围是(0, (3)求空间两点间的距离(线段的长可看成线段两端点间 的距离)可以利用空间向量的数量积将其转化为求向量 的模的问题,其基本步骤是:①选择以两点为端点的向 量,将此向量表示为几个已知向量的和或差的形式;②求 出几个已知向量的模和两两之间的夹角;③利用公式{a a·a求出模,即求出空间两点间的距离 【例题2】1(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB与C1B 的夹角(AB,C1B〉 ;向量A1B与B1D1的夹角 A,B, BI D,> 数学选择性必修第一册课堂学案 (2)如图,已知线段AB在平面a内,线段AC⊥a,线段:【变式3】如图所示,在正三棱柱ABC-A1BC1中,侧面对角 BD⊥AB,线段DD⊥a于点D.如果∠DBD=30°,AB 线AB1⊥BC1,求证:A1C⊥AB1 a,AC=BD=b,则CD的长为 【变式2】(1)已知a,b是异面直线,