1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（学案）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

数学选择性必修第一册课堂学案 1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一课时空间中点、直线和平面的向量表示 空间中直线、平面的平行 学习目标]1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.2.会求直线的方向向量与平面的法向量 (重点).3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.4.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平 行关系(难点).5.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判断 课前·教材预案 要点二空间中直线、平面的平行 要点一空间中点、直线和平面的向量表示 1.线线平行的向量表示:设1,v分别是直线l,l2的方向向 1空间中点的位置向量:如图,在空间中,我们取一定点O作量,则4∥4 为基点那么空间中任意一点P就可以用向量O来表示,2线面平行的向量表示设是直线的方向向量,n是平面a 我们把向量OP称为点P的位置向量 的法向量,a,则l∥a 3.面面平行的向量表示设n,n分别是平面aB的法向量,则 2空间中直线的向量表示式:如图,a是直线l的方向向量,点:辨析 A和点P为直线l上的点,在直线l上取AB=a,取定空间:判断正误,正确的打“√”,错误的打“× 中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存 (1)若两条直线平行,则它们方向向量的方向相同或相反 在实数t,使OP=OA+a①,将AB=a代入①式得OP OA+tAB②,①式和②式都称为空间直线的向量表示式 由此可知,空间任意直线由 (2)两直线的方向向量平行,则两直线平行 确定. (3)若两个平面平行,则这两个平面的法向量平行 (4)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量k也是直线 l的一个方向向量 课堂·深度拓展 3.空间平面的向量表示式:取定空间任意一点O,可以得到,空 间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使:考点一求平面的法向量 ③.我们把③式称为空间平面ABC的 向量表示式由此可知,空间中任意平面由 唯一确定 解题技巧 4.平面的法向量:如图,若直线l⊥a,取直线l的方向向量a, 我们称向量a为平面a的 给定一个点A和一 利用待定系数法求平面法向量的步骤 个向量a,那么 的平面完全确定,可以 (1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z) 表示为集合 (2)选向量:在平面内选取两个不共线向量AB,AC. (3)列方程组:由 列出方程组 >思考:直线的方向向量和平面的法向量是不是唯一的 (4)解方程组 n·AC=0. (5)赋非零值:取x,y,之其中一个为非零值(常取士1). (6)得结论:得到平面的一个法向量 16 数学选择性必修第一册课堂学案 考点三利用空间向量证明线面平行 在一点E,使CE∥平面PAB?若存在,求出点E的位置; 若不存在,请说明理由 规律总结 利用向量法证明线面平行的三个思路 (1)设直线的方向向量是a,平面a的法向量是u,要证自 明l∥a,只需证明a⊥u,即a·u=0.求解法向量时,赋值 与运算一定要准确 (2)根据线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面 内的一条直线平行,则该直线与此平面平行,要证明一条 直线和一个平面平行,只需在平面内找一个向量与已知 直线的方向向量是共线向量即可 (3)根据共面向量定理可知,要证明一条直线和一个平面 平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个 不共线向量线性表示即可 【例题3】在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是正方形,侧 棱PD垂直于底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.证 明:PA∥平面EDB 考点四平面和平面平行 规律总结 证明面面平行的常用方法 (1)转化为相应的线线平行或线面平行; (2)分别求出这两个平面的法向量,然后证明这两个法向 量平行 【例题4】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G 分别为AB,AD,AA1的中点,求证:平面EFG∥平面BCD 变式3】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB 与底面所成的角为45,底面ABCD为直角梯形,∠ABC ∠BAD=90°,PA=BC=AD=1,问在棱PD上是否存 18 第一章空间向量与立体几何 【变式4】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分 别是BB1,DD1的中点,求证:平面ADE∥平面B1C1F 课末·随堂演练 1.若点A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方 向向量为 A.(1,2,3) B.(1,3,2) D.(3,2,1) 2.(多选)若直线l1和l2的方向向量分别是a=(1,-1,2),b A.l1∥l2 B.l1与l2相交 C.l1与l2重合 D.以上都不正确 3.若两个不重合平面aB的法向量分别为u=(1,2,-1