1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（学案）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第一章空间向量与立体几何 考点三线面距和面面距 课末随堂演练 规律总结 1.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的 距离为 (1)求平行于平面的直线到平面的距离可以转化为求直 线上任意一点到平面的距离,利用求点到平面的距离的 B.1 方法求解即可 (2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的 距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可 2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB PC=1,则点P到平面ABC的距离是 【例题3】在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分 别是BB1,CC1的中点 (1)求证:DA∥平面AEFD1; √3 (2)求直线AD到平面A1EFD1的距离 3.如图所示,在长方体ABCD-A1BC1D1中,AB=BC=2 AA1=√2,E,F分别是面A1B1C1D1,面BCC1B1的中心,则 F两点间的距离为 【变式3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求平面 A1BD与平面B1CD间的距离 B D 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则直线D1与 AC间的距离为 3 友情提示完成P2课时作业(九) 第二课时用空间向量研究夹角问题 学习目标]1.能用向量方法解决简单夹角问题(重难点).2.通过用空间向量解决夹角问题,体会向量方法在研究几何问题中的 课前·教材预案 空间角 向量求法 空间角的范围 若平面a,B的法向量分别是n1 要点空间角的向量求法 n2,则平面a与平面B的夹角即 两个平面为向量n1和n的 空间角 向量求法 空间角的范围 的夹角 设平面a与平面B的夹0 若异面直线l1,l2所成的角为0,其 角为0.则cos0=cos(n,n 异面直线 所成的角 方向向量分别是u,v,则cos0 思考:为什么求空间角的公式中都带有绝对值 直线AB与平面a相交于点B,设 直线与直线AB与平面a所成的角为0,直 平面所线AB的方向向量为平面a的「0 成的角法向量为n,则sinO=cos(,n) 数学选择性必修第一册课堂学案 辨析 【变式1】如图,在正方体ABCD-A1B1CD1中,E为线段 判断正误,正确的打“”,错误的打“×” A1C1的中点,则异面直线DE与B1C所成角的大小为 (1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等 (2)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向 量夹角的余角 (3)平面与平面的夹角的取值范围与二面角的取值范围相 (4)两个平面的夹角就是该二面角两个面的法向量的夹角 课堂深度拓展 考点一异面直线所成的角 解题技巧 考点二求直线与平面所成的角 (1)利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是:①选好 基底或建立空间直角坐标系;②求出两直线的方向向量 n,;3③代入公式cs0=m求解 答题模板 (2)两异面直线所成角0的范围是(]两向量的夹 用向量法求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系; 角α的范围是[0,π],当异面直线的方向向量的夹角为锐 角或直角时,就是该异面直线所成的角;当异面直线的方 (2)求直线的方向向量AB 向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成的角 (3)求平面的一个法向量n 例题1】如图所示,在三棱锥V-ABC中,顶点C在空间直角 (4)计算:设线面角为O,则sin0= COSAR,n 坐标系的原点处,顶点A,B,V分别在x轴、y轴、z轴上 D是线段AB的中点,且AC=BC=2,∠WDC=.当0=互、由0≤0≤90,求0 时,求异面直线AC与VD所成角的余弦值. 例题2】已知正方体ABCD-A1BC1D,求A1B与平面ABCD 所成的角 第一章空间向量与立体几何 【变式2】正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为:【变式3】如图所示,已知四边形ABCD为直角梯形,∠DAB= 2a,求AC1与侧面ABB1A1所成的角 ∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD= 求平面SAB与平面SCD夹角的余弦值 考点三两平面的夹角 规律总结 两个平面夹角的向量求法 设m1,n2分别是平面a的法向量,则向量n1与n2的夹 角(或其补角)就是两个平面的夹角,用坐标法的解题步 骤如下 (1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系; (2)求法向量:在建立的坐标系下求两个面的法向量 课末·随堂演练 (3)计算:c30=m:n 若直线l的方向向量与平面a的法向量的夹角等于。,则直 线l与平面a所成的角为 例题3】已知四边形ABCD为矩形,PA平面ABCD.设PA B AB=a,BC=2a,求平面BPC和平面PCD的夹角的余 弦值. D.以上均错误 2.已知平面a与β的法向量分别为a,b,若cos(a,b)=,则 平