1.1一元二次方程-2021-2022学年九年级数学上册金典同步教学讲义（讲+练）（苏科版）

第一章 一元二次方程 1.1 一元二次方程 知识梳理 考点1 一元二次方程的定义 定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程成立条件： ①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。 ②只含有一个未知数； ③未知数项的最高次数是2 。 方程特点： （1）该方程为整式方程。 （2）该方程有且只含有一个未知数。 （3）该方程中未知数的最高次数是2。 例题剖析 （2020晋中市期末数学试题）下列方程是一元二次方程的是（　　）【例题1】 A．y+x2﹣1＝0 B．x2+3＝0 C．x﹣3y+5＝0 D．2x﹣6＝ 【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数，由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件为正确答案． 【解析】A、是二元二次方程，故A错误； B、是一元二次方程，故B正确； C、是二元一次方程，故C错误； D、是分式方程，故D错误； 故选：B． 【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题的关键． （2021年海南省中考模拟考试数学试题）下列方程是一元二次方程的是（ ）．【例题2】 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用一元二次方程定义进行解答即可． 【解析】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，故此选项不符合题意； D、不是等式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识梳理 一般形式： ax2+bx+c=o(a≠0) 其中ax2是二次项，a是二次项系数；  bx是一次项； b是一次项系数；c是常数项。考点2 一元二次方程的一般形式 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根  。 变形式 ax2+bx=0(a,b是实数，a≠0) ax2+c=0(a,c是实数，a≠0) 配方式 两根式 （2020珠海市期中数学试题）一元二次方程4x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数a、一次项系数b和常数c分别是 （　　）例题剖析 【例题1】 A．a＝4，b＝3，c＝﹣1 B．a＝4，b＝1，c＝3 C．a＝4，b＝﹣3，c＝﹣1 D．a＝4，b＝﹣3，c＝1 【答案】C 【分析】 一元二次方程的一般形式是： (a，b，c是常数且a≠0)．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此作答． 【解析】解：一元二次方程4x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数a、一次项系数b和常数c分别是：a＝4，b＝﹣3，c＝﹣1， 故选：C． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（a≠0）． （2020江西省期末数学试题）一元二次方程x2﹣x+1＝2（3x﹣2）的一般形式是（　　）【例题2】 A．x2﹣7x+5＝0 B．x2+5x﹣3＝0 C．x2﹣7x﹣5＝0 D．x2+5x+5＝0 【答案】A 【分析】 根据去括号、移项、合并同类项，可得答案． 【解析】解：去括号，得：x2﹣x+1＝6x﹣4， 移项、合并同类项，得：x2﹣7x+5＝0， 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式．此题比较简单，解题需细心，注意一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）． 知识梳理 考点3 一元二次方程的解 含义及特点 （1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。一般情况下，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）  。 （2）由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根（重根按重数计算），根的情况由判别式（ ）决定  。 判别式 利用一元二次方程根的判别式（ ）可以判断方程的根的情况  。 一元二次方程 的根与根的判别式 有如下关系： ①当 时，方程有两个不相等的实数根； ②当 时，方程有两个相等的实数根； ③当 时，方程无实数根，但有2个共轭复根。 上述结论反过来也成立。 韦达定理 设一元二次方程  中，两根  有如下关系： 推导如下： 由一元二次方程求根公式知 则有： 例题剖析 （2020福建省期中数学试题