笔记 第一章 空间向量与立体几何-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【志鸿优化训练】人教版

第一章空间向量与立体几何 第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 核心·呈现 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间,具有大小和方向的量 单位向量 长度为1的向量 零向量 长度为0的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 名师点睛 任意两个空间向量都可以“平移”到同一平面内,也就是说,它们可以用同一平面内的两条有向线段来 表示.因此,空间向量的问题有时可转化为平面向量的问题 2.空间向量的线性运算 加法 a +b=OA+AB=oB 减法 空间向量的线性运算 当>0时,=AOA=商 数乘 当<0时,=AOA=MN a(>0)/a(2<0) 交换律:a+b=b+ 运算律 结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,(p)=(kp)a; 分配律:(A+)a=+,A(a+b)=a+b 名师点睛 空间向量的线性运算,实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和,即通过作出向量,运用 三角形法则或平行四边形法则求和,运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中 拓展延伸 若O为空间中任意一点, 2( (1)点P是线段AB中点的充要条件是O卢=( (2)若G为△ABC的重心,则O=1(O+OB+00 3.共线向量与共面向量 共线(平行)向量 共面向量 表示若干空间向量的有向线段所在的 定义 平行于同一个平面的向量 直线互相平行或重合 数学 M笔记&必记 续表 共线(平行)向量 共面向量 对于空间任意两个向量ab(b≠0),a若两个向量a,b不共线,则向量p与a,b共面的 充要条件 b的充要条件是存在实数A,使a=b 充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p 拓展延伸 对空间中四点P,M,A,B,可通过证明下列结论成立来证明四点共面 (1MP=x MA+y MB (2)对室间任一点OO=OM+xMA+yMB (3)在点M,A,B不共线的条件下,对空间任一点O,O=xOM+yO+OB(其中x+y+=1); PM∥AB(或PA∥MB,或PB∥AM) 4.空间向量的数量积运算 (1)空间两个向量的夹角 图示 范围 已知两个非零向量a,b,在空间任 取一点O,作O=a,OB=b,则 ∠AOB叫做向量a,b的夹角 B (2)空间两个向量的数量积 表达式 几何意义 已知两个非零向量a,b,则ab·cosa,a a·b=a|b1·a的模长与向量b在a方 b)叫做a,b的数量积 cos(a,b〉 向上的投影的乘积 (3)空间两个向量的数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 Aa)·b=入(a·b),A∈R 交换律 a·b=b·a 分配律 a·(b+c)=a·b+a·c 拓展延伸 空间两个向量数量积的性质总结 (1)若a,b是非零向量,则a⊥b→a·b=0. (2)若a与b同向,则a·b=a·|bl;若a与b反向,则a·b=-a·|b.特别地:a·a= 两个向量数 量积的性质 (3)若0为a,b的夹角,则cos0 (4)a·b≤a|·|b 应用 (1)可以求向量的模或夹角,进而求两点距离或两直线所成角 (2)可证明两非零向量垂直,进而证明两直线垂直 数学 第一章空间向量与立体几何 典例·剖析 【例1-1—1】给出下列命题:①在同一条直线上的单位向量都相等;②只有零向量的模等于0;③在正 方体ABCD-A1BCD中,AD与BC是相等向量;④在空间四边形ABCD中,AB与C方是相反向量:⑤在 柱ABC一A1B1C1中,与AA的模一定相等的向量一共有4个.其中真命题的序号为 【解析】①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它们不一定相等 ②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量; ③正确,AD与BC的模相等,方向相同; ④错误,空间四边形ABCD中,A自与C方的模不一定相等,方向也不一定相反 ⑤错误,在三枝柱ABC-A1BC1中,与AA的模一定相等的向量是A1A,BB,B1B,C1C,一共有5个 【答案】②③ 规律方法· 空间向量概念的辨析 (1)向量的两个要素是大小与方向,两者缺一不可 (2)单位向量的方向虽然不一定相同,但长度一定为1; (3)两个向量的模相等,即它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向 量相等的必要不充分条件; (4)由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的,但向量的模是可以比较大小的 【例1-1-2】如图,在平行六面体 ABCDA1BCD中,AB=a,AD=b,AA=c E为A1D1的中点,F为BC1与BC的交点 1)用基底{a,b,c}表示下列向量:DB,BE,AF; (2)在图中画出DD+D+C方化简后的向量 【解】(1)DB=D+CB=D+BB一BC=a-b+c BE-BA+AA+AE=-a+b+c,AF=AB