专题22.9 一元二次方程的应用综合-重难点题型-2021-2022学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版）【学科网名师堂】

专题22.9 一元二次方程的应用综合-重难点题型 【华东师大版】 【题型1 与一元二次方程有关的三角形动点问题】 【例1】（2020秋•兴城市月考）如图，在△ABC内，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？ 【解题思路】过点Q作QE⊥PB于E，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得出QEQB，设经过t秒后△PBQ得面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t，根据△PBQ的面积等于4cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答过程】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°. ∵∠ABC＝30°， ∴QEQB． 设经过t秒后△PBQ得面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t， 根据题意得：•（6﹣t）•t＝4， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4． 当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去， ∴t＝2． 答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2． 【变式1-1】（2020秋•茶陵县期末）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）． （1）当t＝4时，求△APQ的面积． （2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半． 【解题思路】（1）根据点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，AP＝4cm，AQ＝4cm，利用面积公式求解； （2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，则BP＝2tcm，CQ＝2tcm， 进而表示出AP＝（12﹣2t）cm，AQ＝（8﹣t）cm，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论． 【解答过程】解：（1）∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1m/s， 当t＝4时，BP＝2t＝8cm，CQ＝t＝4cm， ∴AP＝4cm，AQ＝4cm， ∴S△APQ4×4＝8（cm2）． （2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半． 根据题意得：S△ABC12×8＝24cm2， 当0＜t＜6 时如图1： S△APQ（12﹣2t）（8﹣t）＝24， 整理得t2﹣14t+24＝0， 解得t＝12（舍去）或t＝2． 当6＜t＜8 时如图2： S△APQ（2t﹣12）（8﹣t）＝24， 整理得t2﹣14t+72＝0， △＜0，无解． 当t＞8时如图3： S△APQ（2t﹣12）（t﹣8）＝24， 整理得t2﹣14t+24＝0， 解得t＝12或t＝2（舍去）． 综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半． 【变式1-2】（2021•广州模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm． （1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． （2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？ 【解题思路】（1）设经过x秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （2）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜t≤4）；②点P在线段AB上，点Q在线段CB上（4＜t≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（t＞6）；进行讨论即可求解． 【解答过程】解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分 由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x， ∴（6﹣x）•2x6×8， ∴x2﹣6x+12＝0， ∵b2﹣4ac＜0， 此方程无解， ∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分； （2）设t秒后，△PBQ的面积为1 ①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时 此时0＜t≤4 由题意知：（6﹣t）（8﹣2t）＝1， 整理得：t2﹣10t+23＝0， 解得：t1＝5（不合题意，应舍去），t2＝5， ②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时 此时4＜t≤6， 由题意知：（6﹣t）（2t﹣8）＝1， 整理得：t2﹣10t+25＝0， 解得：t1＝t2＝5， ③当点P在线段AB的延长线上，点Q在