第21讲 相似三角形的判定-讲义2021-2022学年人教版九年级数学下册

第二十七章相似 第21讲 相似三角形的判定 知识导航 1.相似多边形。 2.平行线分线段成比例定理。 3.相似三角形的判定方法. 【板块一】平行线分线段成比例定理 方法技巧 1.在利用平行线分线段成比例定理时，注意对应线段的位置。 2.由平行线＋中点得线段中点，利用中位线解题. 题型一运用平行线分线段成比例定理探究线段关系 【例1】如图，已知直线AB∥CD∥EF，AF与BE交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，求的值. 【解析】由AB∥CD∥EF，得，又AD＝AG＋GD＝2＋1＝3，DF＝5，∴. 【例2】如图，P是□ABCD的边BC的延长线上任意一点，AP分别交BD和CD于点M和N.求证： AM2＝MN·MP. 【解析】∵AB∥DN，∴△AMB∽△NMD，∴，又∵AD∥BP，∴△BMP∽△DMA， ∴,∴，∴AM2＝MNMP. 题型二平行线等分线段定理证线段中点 【例3】如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，DF⊥BD，且DF＝BE，FB与AC 交于点M.求证：DE＝2CM. 【解析】延长DF，BC交于点H，易证∠CDF＝45°＝∠DCA，∴DH∥AC，又AD∥CH，∴四边形ACHD为平行四边形.∴AD＝CH＝DC＝BC，DH＝AC＝BD.∵AC∥DH，BC＝AD＝CH，∴BM＝MF，又 BC＝CH.∴FH＝2CM.又 DH ＝BD，BE＝BF，∴DH－DF＝BD－BE，即DE＝FH.∴DE＝2CM. 1.如图，直线l1，l2，l3分别交直线l4于A，B，C三点，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，已知DE:DF ＝3：8，AC＝24. （1）求BC的长； （2）当AD＝4，CF＝20时，求BE的长. 解：（1）BC＝15； （2）连接CD交EB于点H，易得EH＝FC＝；HB＝AD＝；∴BE＝EH＋HB＝10. 2.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F. （1）求证：DE＝CF； （2）若BF＝1，AE＝2，EF＝4，求AB的长. 解：（1）过点O作ON⊥CD，垂足为点N，易证AE∥ON∥BF，∴＝1.∴EN＝NF. ∵ON⊥CD，∴DN＝NC.∴DN－EN＝NC－NF，∴DE＝CF； （2）延长AE交OO于点M，连接BM.易证四边形EMBF为矩形.∴EM＝BF＝1，BM＝EF＝4， ∴AB＝ ＝5. 3.如图，在正方形ABCD中，点E在DA的延长线上，AE＝AB，点F在CD上，M为AF的中点，过点M作MN⊥MC交BE于点N.求证：MN＝MC. 解：过点M作MP⊥BC，垂足为点P，易证AB∥MP∥DC，＝1.∴BP＝PC.∵MP⊥BC，∴MB＝MC.设∠NMB＝2x，易证∠BMP＝∠PMC＝45°－x，∠MBP＝45°＋x，∠ABM＝45°－x，∠MBE＝90°－x，∴∠MNB＝ 180°－∠NMB－∠MBE＝90°－x.∴∠MBE＝∠MNB.∴MN＝MB＝MC. 【板块二】作平行线构造X型相似 方法技巧 1.作平行线是构造三角形相似的基本方法，利用平行线对比例式进行转化。 2.通常引入参数求比值或计算线段的长。 题型一延长平行线段构X型相似 【例1】如图，□ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠ABC＝60°，AE⊥BC，垂足为点E，F为CD的中点，DE与BF相交于点P. （1）求的值； （2）求BP的长. 【解析】（1）延长BF，AD交于点M，易得BE＝AB＝1，BC＝AD＝3，EC＝2，由AD∥BC得＝1，.∴DM＝BC＝3，＝； （2）过点M作MN⊥BC交BC的延长线于点N.易证四边形AENM为矩形，∴MN＝AE＝，EN＝AM＝6，BM＝ ＝2.∵AD∥BC，＝，∴，BP＝BM＝. 题型二作平行线构X型相似，证线段关系 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，点E，F在AD 上，AE＝EF＝BE，∠BED＝∠BAC. （1）求证：AE＝FC； （2）求证：BD＝2CD. 【解析】（1）∵AE＝EF＝BE.∴BE＝AF，∵∠BED＝∠BAC，∴∠ABE＝∠CAF， ∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AE＝FC； （2）过点C作CM∥BE交AD的是长线于点M.∵△ABE≌△CAF.∴∠BEA＝∠AFC，∵∠BEA＋∠BED－180°， ∠AFC＋∠DFC＝180°，∴∠BED＝∠DFC.∵BE∥CM.∴∠M＝∠BED＝∠DFC.∴FC＝CM.∵AE＝FC，AE＝BE，∴BE＝2CM.∵BE∥CM.∴△BED∽△CMD.∴＝2.∴BD＝2DC. 题型三作平行线构X型相似，求比值 【例3】如图，∠CAB＝90°，AC＝AB，D是AC的中点，AF⊥BC分别交BD，BC于点E，F.AG⊥DB交BC于点G.求的值. 【解析】过点B价BH∥AC交