第16讲 与圆有关的位置关系-讲义2021-2022学年九年级数学人教版上册

第16讲 与圆有关的位置关系 知识导航 1.若的半径为r，OP＝d，则点P在外d＞r；点P在上d＝r；点P在内d＜r. 2.若的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则d与相离d＞r；l与相切d＝r；l与相交d＜r； 3.切线的性质与判定，切线长定理及三角形的外心，内心的概念和性质. 【板块一】切线的判定 方法技巧 当待证切线与圆有明确的公共点时，连半径，证垂直；当待证切线与圆无明确的公共点时，做垂直，证半径（有点连半径，证垂直；无点作垂线，证全等） 题型一 连半径，证垂直 【例1】如图，AD，BD是的弦，且∠ADB＝90°，点C是BD的延长线上的一点，且满足AD2＝CD·DB，连接CA，求证：AC是的切线。 【解析】连接AB，则AB是的直径，设CD＝x，BD＝y， 则AC²＝AD²＋CD²＝xy＋x²＝x（x＋y），AB²＝AD²＋BD²＝xy＋y²＝y（x＋y）， ∴AC²＋AB²＝（x＋y）²＝BC²，∴∠CAB＝90°，∴AC是的切线. 【例2】如图，抛物线y＝与x轴交于点A，B（A左B右），与y轴交于点C，点P为抛物线的顶点. （1）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （2）求证：直线CP是△ABC的外接圆的切线. 【解析】（1）易求A（－2，0），B（8，0），C（0，－4）， 易证AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，故△ABC是直角三角形； （2）设△ABC的外心为O′，∵∠ACB＝90°，∴O′（3，0），连接O′C，O′P， 作PE⊥y轴于点E，∵P（3，），∴O′C²＝25，O′P²＝，CP²＝CE²＋PE²＝， ∴O′C²＋ CP²＝ O′P²，∴∠O′CP＝90°，∴直线CP是△ABC的外接圆的切线， 题型二 作垂直，证半径 【例3】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且AD＋BC＝CD，求证：以CD为直径的圆与AB相切. 【解析】取CD的中点O，连接AO并延长交BC的延长线于点E，则△AOD≌△EOC， ∴AO＝OE，AD＝CE，∴AD＋BC＝CE＋BC＝CD＝BE，取AB的中点F， 连接OF，则OF∥BC，且OF＝BE＝CD， ∵∠ABC＝90°，∴OF⊥AB，∴以CD为直径的圆与AB相切. 针对练习1 1.如图，△ABC是的内接三角形，点E是经过点C的直线1上的一点，且∠ECB＝∠BAC，求证：直线1是的切线. 解：作直径CF，连接BF，则∠CBF＝90°，.∠BCF＋∠F＝90°； ∵∠ECB＝∠BAC＝∠F，∴∠BCF＋∠ECB＝90°，即OC⊥l，∴直线l是的切线. 2.如图，AB是的直径，点C是上的一点，过点C的直线与切线DB相交于点D，过点D作DE⊥DB交直线AC于点E.若AB＝2DE，求证：DC与相切. 解：连接OC，OD，则OA∥DE，OA＝DE，∴四边形AODE是平行四边形，∴AE∥OD， ∴∠OAC＝∠OCA＝∠COD＝∠BOD，∴△OCD≌△OBD，∴∠OCD＝∠OBD＝90°，∴DC与相切. 3.如图，在平行四边形ABCD中，经过A，B，C三点，且，求证：DC与相切. 解：连接CO并延长交AB于点E，连接OA，OB，∵， ∴∠AOE＝∠BOE，∴CE⊥AB，∵DC∥AB，∴OC⊥DC，∴DC与相切. 4.如图，AD是△ABC的高，且AD＝BC，点E，F分别为AB，AC的中点，以EF为直径作，试判断BC与的位置关系，并说明理由。 解：过点O作OM⊥BC于点M，取CD的中点N，连接FN， 则FN∥AD，FN＝AD，∴OM＝FN＝AD， ∵EF＝BC＝AD，∴OM＝EF，∴BC与相切. 5.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与边AB交于点P，△ABC的内切圆与边BC相切于点M，作MD∥AC交于点D，连接PD.求证：PD与相切. 解：设与AB相切于点S，连接IS，ID，IM，则∠PSI＝∠IMC＝∠IMB＝90°， 设∠B＝∠ACB＝2，则∠SP1＝∠B＋∠PCB＝3，∠SIP＝90°－3， ∵MD//AC，∴∠DMB＝∠ACB＝2，∴∠IDM＝∠IMD＝90°－2， ∴∠DIM＝4，∴∠MIC＝90°－，∴∠DIP＝90°－3＝∠SIP， ∴△IPD≌△IPS，∴.∠IDP＝∠ISP＝90°，∴PD与相切 【板块二】切线的性质 方法技巧 已知切线，连接过切点的半径，构造垂真关系，进行角度的转化或在直角三角形中运用勾股定理求线段的长（遇切线，连半径）. 题型一 遇切线，连半径，求角度 【例1】如图，AB是的直径，点P是AB的延长线上的一点，PC与相切于点C，∠APC的平分线交AC于点D. （1）求∠ADP的度数； （2）连接BC交PD于点E，若CD，CE的长是方