第11讲 旋转图形的性质-讲义 2021-2022学年人教版九年级数学上册

第11讲 旋转图形的性质 知识导航 1．旋转图形的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等． 2．中心对称与中心对称图形的概念与性质． 3．点P（x，y）关于原点的对称点P为（－x，－y）． 【板块一】利用旋转图形的性质求角度 方法技巧 1．利用等腰求角度； 2．通过旋转“化散为聚”求角度． 题型一 利用旋转角求角度 【例1】如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△的位置，使得//AB，则∠的度数是（ ） A．70° B．35° C．40° D．50° 题型二 利用旋转的位置关系求角度 【例2】如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△，点恰好落在边AB上，连接，则∠＝ ． 【例3】一副三角尺按如图的位置摆放（顶点B，C，D在一条直线上，点C，F重合），将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后得到△（0＜n＜180），如果//AB，那么n 的值为 ． 题型三 利用旋转构造全等求角度 【例4】如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，，，求∠BPQ的度数． 【例5】如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝CD，∠BAE＋∠BCD＝180°，M是ED的中点，连接AM，CM，且AM＝CM，求∠BCD的度数． 【例6】如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝2，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数． 针对练习1 1．如图，点P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△． （1）求点P与点之间的距离； （2）求∠APB的度数． 2．如图，点P为等边△ABC内一点，∠APB＝113°，∠APC＝123°，求证：以AP，BP，CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各个内角的度数． 3．如图，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数． 【板块二】利用旋转图形的性质求线段长或面积 题型一 利用旋转图形性质求线段长 【例1】如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，把△ABC绕点A顺时针旋转至△ADE，AE，DC交于点F，当F为CD的中点时，求AF的长． 题型二 利用旋转图形性质求面积 【例2】如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，求四边形AB1OD的面积． 【例3】在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接DP，将DP绕点D逆时针旋转90°后得到线段DE，连接PE，点C关于直线PE的对称点是，连接，，，若四边形是平行四边形，PC＝2，则平行四边形的面积是 ． 针对练习2 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△是由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，连接，且点A，，在同一条直线上，则的长为（ ） A．6 B．4 C．3 D．3 2．如图．在△ABC中，∠BAC＝150°，D，E为线段BC上的两点，∠DAE＝60°，且AD＝AE，若DE＝3，CE＝5，则BD的长为 ． 3．如图，P为等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求S△ABC． 【板块三】旋转图形中线段关系的探究 方法技巧 利用旋转“化散为聚”解决线段关系． 题型一 旋转图形中线段数量关系的探究 【例1】如图，在等边△ABC内有一点O，试证明：OA＋OB＞OC． 【例2】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转． （1）求证：BD＝CE； （2）如图2，若∠ADB＝90°，DE的延长线交BC于点F，交AB于点G． ①求证：点F是BC中点； ②若DA＝DB，BF＝，直接写出AG的长为 ． 题型二 旋转图形中图形形状的确定 【例3】如图，在正方形ABCD中，点E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90后，得到△ABQ连接EQ (1)求证:EA是∠QED的平分线; (2)探求以EF，BE，DF为三边的三角形的形状 针对练习3 1.如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE. (1)求证:△BDE≌△BCE; (2)试判断四边形ABED的形状，并说明理由 2.给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形。 (1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称; (2)如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△