第15讲 圆的有关性质-讲义2021-2022学年九年级数学人教版上册

第二十四章 《圆》 第15讲 圆的有关性质 知识导航 1. 与圆有关的概念；到定点的距离等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上； 2. 垂径定理及推论；弦、弧、圆心角关系定理；圆周角定理及推论；圆内接四边形性质定理。 【板块一】 半径的运用 方法技巧 利用半径相等作等量代换或利用半径构造等腰三角形及全等三角形。 ▶题型一 利用半径相等作等量代换 【例1】 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD和正方形DEFG彼此相邻(点A，D，E在直径MN上，点B，C,F在半圆上，点G在CD上)，若正方形DEFG的面积为9，求⊙O的半径。 【解析】 连接OB，OC，OF，则△AOB≌△DOC(HL) ∴OA＝OD＝AD，设OA＝OD＝a，则AD＝CD＝2a，OE＝a＋3， 在Rt△ODC和Rt△OEF中，a2＋(2a)2＝OC2＝OF2＝(a＋3)2＋32, ∴a＝3或－(舍去)，∴OC＝＝a＝3，即⊙O的半径为3. 【解析】 通过等半径OC，OF结合勾股定理列方程. 【例2】 如图，点P是⊙O外的一点，直线PO交⊙O于A，B两点，点C为⊙O上的任意一点(不与点A，B重合).求证：PA＜PC＜PB. 【解析】 连接OC，PO－OC＜PC＜PC＋OC，∵OA＝OB＝OC, ∴PO－OA＜PC＜PO＋OB，∴PA＜PC＜PC. 【解析】 点P到⊙O上的点的最小距离是PA的长，点P到⊙O上的点的最大距离是PB的长. ▶题型二 连半径，构等腰(构构全等) 【例3】 如图，AB是⊙O的直径，AD，BE的延长线交于点C，若∠C＝60°，试探究DE与AB的数量关系. 【解析】 连接OD，OE，∵∠C＝60°，∴∠A＋∠B＝120°，∴设∠A＝x，∠B＝y，∵OD＝OA＝OB＝OE，∴∠ODA＝∠A＝x，∠OEB＝∠B＝y，∠AOD＋∠DOE＝180°－2x＋180°－2y＝360°－2(x＋y)＝120°，∴∠DOE＝60°，∴△ODE是等边三角形，∴DE＝OE＝AB. 【例4】 如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且交于点P，当四边形OAPC为平行四边形时，求证：AB＝CD. 【解析】 连接OB，连接OD.证△OAB≌△OCD即可. 针对练习1 1. 如图，点A，D，G，M在半圆上(点O是圆心)，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a，b，c的大小关系为 ． 【解析】 连接OD，OA，OM. 2. 图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上下两个半圆，过上半圆上的一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在半圆上移动时，(不与A，B重合)，点P（ ）． A．C到CD的距离保持不变 B．位置不变 C．等分弧AB D．随C点移动而移动 【解析】 连接OP. 3. 如图，⊙O的弦CD与直径AB的延长线相交于点E，且AB＝2DE，若∠E＝13°，则∠AOC＝ ． 【解析】 连接OD. 4. 如图，扇形MON的半径为7，∠MON＝60°，点A，B，C分别在OM，ON及弧MN上，且△ABC使等边三角形.若AB⊥ON，求BC的长. 解：连接OC，设OB＝a，AB＝BC＝AC＝a， ∴在Rt△AOC中，(2 a)2＋(a)2＝72，∴a＝，∴BC＝a＝. 5. 如图，点P是⊙O内的一定点，直线PO交⊙O于A，B两点，点C为⊙O上的任意一点(不与A，B两点重合)，求证：PA＜PC＜PB. 证明：证法同例2. 6. 如图，点P是△ABC的边AB的中点，分别以AC，BC为直径作半圆O1,O2,在半圆上分别取点E，F，使∠AO1E＝∠BO2F，求证：PE＝PF. 证明：连接PO1,PO2,证△PO1E≌△FO2P(SAS). 【板块二】 回到“圆的定义”中去 方法技巧 若O是一个定点，且OP＝r，则点P在以O为圆心，r为半径的圆上；共斜边的直角三角形的顶点在同一个圆上.利用半径相等作等量代换或利用半径构造等腰三角形及全等三角形. ▶题型一 四点共圆 【例1】 如图，点E，F，G，H分别是菱形ABCD的四条边的中点，求证：E，F，G，H四点在同一个圆上. 【解析】 连接AC，BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥CD，AB＝BC＝CD＝AD，连接OE，OF，OG，OH，∵点E是AB的中点，∴OE＝AB，同理可证：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴E，F，G，H四点在以点O为圆心的同一个圆上. 【点评】 到定点的距离等于定长的点在同一个圆上. 【例2】 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝5，BC＝8，CD＝6，AD＝5. (1)求证：A，B，C，D四点在同一个圆上； (2)求(1)中圆的面积. 【解析】 (1)连接B