第13讲 旋转中的最值、路径长-讲义（学生版+教师版）2021-2022学年九年级数学人教版上册

第13讲 旋转中的最值、路径长 【板块一】旋转最值 题型一 运用垂线段最短求最值 【例1】如图，等边△ABC边长为6，点E是中线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，在点E运动过程中，DF的最小值为 . 【解析】取AC的中点G，连接EG，在△DCF和△GCE中，CE＝CF，∠DCF＝∠GCE， ∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG.根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短， ∵ ， ，∴EG的最小值为 ， ∴DF的最小值为1.5. 【例2】如图，点B（0，3），点A为x轴上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得AC，连接OC，求OC长的最小值. 【解析】在x轴正半轴上取点F，使OF＝OB＝3，延长CF交y轴于点D，在OB上截取OE＝OA. 证△AFC≌△BEA. ∴∠CFA＝∠AEB＝135°，得点C在直线DF上运动，△ODF为等腰 直角三角形，当OC⊥DF时OC最小为 . 题型二 运用两边之和大于第三边求最值 【例3】如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝5，BP＝2，将PC绕点C逆时针旋转90°得 线段CD，连接BD，当BP绕点B旋转时，线段BD的最小值为 . 【解析】连接AP，∴△DCB≌△PCA（SAS），∴AP＝BD，当点P在AB的延长线上时， AP的最大值＝AB＋PB＝ ＋2，∴BD的最大值为 . 【例4】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BC＝CA.若AC＝ ，点P为BC的中点，动点Q满足PQ＝ ，将线段AQ绕点A逆时针旋转90°到线段AM，连PM，则线段PM的最小值为 . 【解析】连接AP，将AP绕点A逆时旋转90°到AN，连接PN，MN.易证△APQ≌△ANM，∴MN＝PQ＝ ，AP＝AN＝ ，∴PN＝ AP＝ ， ，∴PM最小值为 . 题型三 运用中线，中位线求最值 【例5】如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，把边BA，CD分别绕点B，C以相同的速度同时逆时针旋转一周，四边形ABCD的形状也随之发生改变，A'C与D'B交于点O′，那么在旋转的过程中，求AO'的最大值. 【解析】首先证A'B∥CD'，得四边形A'BCD'为菱形，∴A'C⊥BD'.取BC的中点G，连接AG，O′G， 则O′G＝ ＝1，AG＝ ，在△AO′G中， ，故AO′的最大值为 . 题型四 运用平移、轴对称结合旋转求最值 【例6】如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝ ，点D在边BC上，CD＝ ，将线段CD绕点C逆时针旋转 （其中0＜ ≤360）得到CE，连接AE，以AB，AE为边作□ABFE，连接DF，则DF的最大值为（ ） A. B. C. D. 【解析】过点C作CO∥AB，CO＝AB，连接OF，则四边形COFE为平行四边形，CO＝EF＝AB＝ ， OF＝CE＝CD＝ ，连接DO，则DF≤OD＋OF，由OC//AB，得∠BCO＝∠ABC＝30°，过点O作OH⊥BC于点H，则OH＝ ， ，又DC＝ ，故HD＝ ， ，因DF≤OD＋OF，而OD＋OF＝ ，故 ，∴DF的最大值为 . 针对练习1 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝10，D为线段AC上一动点，将线段BD绕点D逆时针旋转90°.点B的对应点为点E，连接AE，求AE长的最小值. 解：在AC上取点F,使CF＝BC＝6.在CB上取点G，使CG＝CD，可证△DEF≌△BDG，∴∠EFD＝∠BGD＝135°，∴∠AFE＝45°，得点E在直线FE上运动，且AE⊥FE时，AE的最小值为 . 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，将PB绕点P逆时针旋转90°得PM，求AM长的最大值. 解：将△APM绕点P顺时针旋转90°得△NPB，连接AN，则BN＝AM，△ANP为等腰直角三角形， ∴ ，又 .∴在△ANB中， ，即AM长的最大值为 . 3.如图，边长为4的正方形ABCD外有点E ，∠AEB＝90°，F为DE的中点，连接CF.求CF的最大值. 解： 取AB的中点G，过点G作GN⊥CD于点N，延长DC至点M，使CM＝CD，则MN＝6，GN＝4，∴GM＝ ＝2 ，又EG＝ AB＝2，∴在△EMG中，EG≤2 ＋2，而FC＝ EM，故FC≤ ＋1，∴CF的最大值是 ＋1. 【板块二】旋转图形中动点的路径与动线段的取值范围 题型一 旋转图形中点的运动路径 【例1】在平面直角坐标系中，点C沿某条路径运动，以点C为旋转中心，将点A(0，4)逆时针旋转90°到点B(m，1)，若－5≤m≤5，求点C运动的路径长. 【解析】 如图