第7讲 二次函数与一元二次方程-讲义 2021-2022学年九年级数学人教版上册

第7讲 二次函数与一元二次方程 知识导航 1．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，观察一元ニ次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况． 2．直线与抛物线的交点的坐标与方程组的解的对应关系． 3．二次函数与根与系数的关系． 【板块一】二次函数与一元二次方程的关系 方法技巧 (1)二次函数的图象与x轴的交点横坐标，对应一元二次方程的根； (2)二次函数的图象与x轴的交点个数，对应一元二次方程根的情况． 题型一：二次函数的图象与a，b，c之间的联系 例1：如图是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，则下列结论： ①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；①一元ニ次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】∵抛物线与x轴的一个交点在(3，0)和(4，0)之间，由对称性知另一交点在(－2，0)和(－1，0)之间，当x＝－1时，y＞0，a－b＋c＞0，故①正确；由对称轴，b＝－2a，3a＋b＝3a－2a＝a＜0故②不正确：顶点(1，n)，∴n＝，∴b2＝4ac－4an＝4a(－m)故③正确；∵抛物线与直线y＝n只有一个公共点，∴抛物线与直线y＝n＝1有两个交点，∴一元二次方程a2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根，故④正确，选C． 题型二：方程的解与交点横坐标的对应 【例2】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋m交于A，B两点． (1)方程ax2＋bx＋c＝kx＋m的解为 ； (2)不等式ax2＋bx＋c≤kx＋m的解集为 ． 【解析】(1)方程的解就是两图象交点的横坐标，即x1＝－1，x2＝2； 结合图象，根据增减性可知，解集为≤－1或x≥2． 题型三：二次三项式的值恒为正(或负)的条件 【例3】无论x为何值，二次三项式a2＋2(a＋1)x＋a＋的値恒为负数，则a的取值范固是( ) A． B． C． D． 【解析】设y＝a2＋2(a＋1)x＋a＋，值恒为负，则，即，解得，选C． 针对练习1 1．二次函数y＝a2＋2(a＋1)x＋a＋(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b＜a＋c；③4a＋2b＋c＞0；④b2－4ac＞0．其中正确结论有( B ） A．①②③ B．①②① C．①③① D．②③④ 答案：B 第1题图 第2题图 2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝mx＋n的图象如图所示： (1)方程ax2＋bx＋c＝mx＋n的解为： ． (2)不等式ax2＋(b－m)x＋c－n＜0的解集为： ． 答案： （1）x1＝－2，x2＝1 （2） －2＜x＜1 3．二次函数y＝(m－1)x2＋2mx－1的图象都在x轴的下方，求m的取值范围． 答案： 解：，解得 4．无论x为何值，二次根式恒有意义，求m的取值范围． 答案： 解：设y＝(m＋1)x2－2mx＋m＋3，则y恒为非负数，∴，即解得m≥ 板块二：函数图象的交点与解方程 方法技巧 联立两函数的解析式，求图象交点的坐标；交点的个数与方程的判别式有关． 少题型一二次函数的图象与x轴的交点 【例1】已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( ) A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3 【解析】当k－3＝0时，该函数为一次函数y＝2x＋1，其图象与x轴有交点，当k－3≠0时，该函数为二次函数，△≥0．22－4(k－3)＝0，即k≤4且k≠3，综上，当k≤4时，函数图象与x轴有交点，故选B． 题型二：二次函数的图象与直线y＝k(k≠0)的交点 例2：已知一元二次方程1－(x－3)(x＋2)＝0有两个实数根x1，x2，(x1＜x2)，则下列判断正确的是( ) A．－2＜x1＜x2＜3 D．x1＜－2＜3＜x2 C．－2＜x1＜3＜x2 D．x1＜－2＜x2＜3 【解析】画出直线y＝1与ニ次函教y＝(x－3)(x＋2)的图象，由图象可知：x1＜－2＜3＜x2，故选B． 【注】方程ax2＋bx＋c－k＝0的解，即函数y＝ax2＋bx＋c的图象与函数y＝k的图象的交点的横坐标． 题型三：二次函数的图象与直线y＝kx＋b(k≠0)的交点 【例3】直线AB:y＝x＋4与抛物线y＝x2－2mx＋m2