第5讲 二次函数的图象和性质-讲义 2021-2022学年九年级数学人教版上册

第二十二章 二次函数 第5讲 二次函数的图象和性质 知识导航 1.二次函数的概念。 2.二次函数的图象与性质。 3.图象的平移规律。 【板块一】二次函数的图象和性质 方法技巧 理解并掌握二次函数的图象的形状(抛物线)、顶点(最高点或最低点)、开口方向(向上或向下)、对称轴等知识，运用数形结合思想解决问题. 题型一 开口方向、对称轴、顶点坐标及位置 【例1】(1)抛物线y＝2x²＋1的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；二次函数y＝－(x＋1)²﹣2的图象的开口方向是 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是(﹣1.﹣2). (2)抛物线y＝2x²＋1在x轴的 方；当x＞0时，图象自左向右逐渐 ，它的顶点是最低点；抛物线y＝－(x＋1)²﹣2，当x 时，它的图象在x轴的 ，顶点是 。 题型二 抛物线的开口大小 【例2】如图，若抛物线y＝ax²与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是(　　) A.≤a≤1 B．≤a≤2 C.≤a≤1 D.≤a≤2 【例3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝x²；②y＝－x²，③y＝－2x²的图象，则三个图象I，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是 . 题型三 抛物线的对称性 【例4】抛物线y＝ax²＋bx＋5经过A(2,5).B(﹣1,2)两点。若点C在该抛物线上，则点C的坐标可能是(　　) A.(﹣2,0) B.(0.5,6.5) C.(3,2) D.(2,2) 针对练习1 1.已知二次函数y＝－x²＋1，其图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ，该图象的顶点是最 点。 2.如图，点A1，A2，…，An。在抛物线y＝x²上，点B1，B2，.…，Bn。在y轴上，若△，△，…，△。都为等腰直角三角形(点为坐标原点)，则△的腰长等于(　　) A.2020 B.2021 C.2020 D.2021 3.如图，抛物线y＝a(x﹣h)²＋k与x轴的一个交点A在点(－2，0)和(－1，0)之间(包括这两个点)，顶点C是矩形DEFG区域内(包括边界和内部)的一个动点，则a的取值范围是 . 4．抛物线y＝(x﹣h)²＋k过点A(2，6)，且对称轴与线段BC有交点，B(1，0)，C(4，0)，求k的取值范围. 5.已知A(x1，2019)，B(x2，2019)是抛物线y＝ax²＋bx＋2018(a≠0)上的两点，则当x＝x1＋x2时，二次函数的值是(　　) A.＋5 B.﹣＋5 C.2019 D.2018 【板块二】二次函数的增减性 方法技巧 比较二次函数值的大小的方法： (1)代入比较法：若已知函数的解析式，则将几个点的横坐标分别代入，求出相应的函数值，再比较大小； (2)增减性比较法：当点在对称轴同侧时，直接根据函数的增减性比较大小；当点不在对称轴的同侧时，利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再比较. (3)根据点到对称轴的距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值大，当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小。 题型一 运用二次函数的增减性比较大小 【例1】若点A(﹣4，y1)，B(﹣3，y2).C(3，y3)为二次函数y＝(x＋1)²＋k的图象上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系是(　　) A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y1＜y3＜y2： 【例2】下列关于函数y＝(x﹣3)²＋1的四个命题：①当x＝0时，y有最小值10；②n为任意实数，x＝3＋n时的函数值大于x＝3﹣n时的函数值；③若n＞3，且n是整数，当n≤r≤n＋1时，y的整数值有(2n一4)个；④若函数图象过点(a，y0)和(b，y0＋1)，其中a＞0，b＞0，则a＜b，其中真命题的序号是(　　) A.① B.② C.③ D.④ 题型二运用二次函数的增减性求对称轴的取值范围 【例3】二次函数y＝﹣(x﹣h)²＋2的图象上有两点A(1，y1)，B(2，y2)，若y1≤y2，则h的取值范围为＿＿＿＿＿ 题型三 增减性与顶点的联系 【例4】关于x的二次函数y＝(x﹣m)²﹣1，当－1≤x≤3时，函数有最小值－2m＋11，则m的值为__________ 针对练习2 1.若抛物线y＝ax²(a＜0)经过点A(﹣1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)，则(　　) A.y1＞y2＞y3 B.y1＜y3＜y2 C.y2＜y1＜y3 D.y3＜y1＜y2 2.二次函数y＝(x－h)²＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3时，其函数y的最