第4讲 几何问题与一元二次方程-讲义（学生版+教师版）2021-2022学年 人教版九年级数学上册

第4讲 几何问题与一元二次方程 【知识导航】 利用几何关系建立一元二次方程 【板块一】 判别式 根系关系与勾股定理 【方法技巧】 根系关系＋勾股，建立方程. 【 题型一 】 判别式、根系关系与三角形 【例1】已知关于x的一元二次方程 －（2k＋1）x＋4k－3＝0 （1） 求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2） 当Rt△ABC的斜边长a＝，且两条直角边长b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长 【解析】（1）∵△＝＋4＞0，∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）由根系关系得，b＋c＝2k＋1，bc＝4k－3.∵ ＋ ＝，得 －2（4k－3）＝31，解得，k＝3或－2，又4k－3＞0，∴k＝3，∴△ABC的周长＝a＋b＋c＝7＋. 【题型二】 判别式、根系关系与四边形 【例2】已知关于x方程－（k＋1）x＋ ＋1＝0的两个根是一个矩形两邻边的长. (1)k取何值时，方程有两个实数根？ (2)当矩形的对角线长为 时，求k的值. 【解析】（1）k≥ ； (2)k＝2. 【题型三】判别式、根系关系与几何 【例3】如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且关于x的方程（a＋c）＋2bx＋c＝a有两个相等的实数根. （1） 判断△ABC的形状； （2） 若CD平分∠ACB，且AD⊥BD,AD、BD为方程－2mx＋ ＝0的两根，试确定m与n的数量关系，并说明理由. 【解析】（1）∵关于x的方程（a＋c）＋2bx＋c＝a有两个相等的实数根，∴ ＝4－4（a＋c）（c－a）＝0.得 ＋ ＝ ，∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90º； （2）由对角互补四边形模型，得DA＝DB，∴方程有两个相等实数根， ＝4－4＝0，＝，∵AD＋DB＝2m＞0，m＞0，∴m＝n或m＋n＝0. 针对练习1 1. 已知关于x的方程－（2k＋1）x＋4（k－）＝0，若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另一边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长. 解：若等腰三角形的腰长为4时，－4（2k＋1）＋4（k－）＝0，k＝， 此时方程为－6x＋8＝0，＝4，＝2，三角形的三边分别为4，2，2，满足题意，△ABC的周长为10；若等腰三角形底边为4，则＝－4ac＝ －4×1×4（k－）＝0,k＝ , －4x＋4＝0, ＝2, ＝2,三角形的三边分别为4，2，2，不满足题意，舍去；综上所述，△ABC的周长为10. 2. 已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 －mx＋ －＝0的两个实数根. （1） 当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （2） 若AB＝2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 解：（1）当AB＝AD时，该平行四边形ABCD是菱形，∴原方程有两个相等的实根即可，故＝ －4（－）＝0，∴m＝1，故原方程为－x＋＝0，∴ ＝ ＝，故AB＝AD＝，即当m＝1时，平行四边形ABCD是菱形，这时菱形的边长为； （2）当AB＝2时，即原方程的一根为2，∴－2m＋ －＝0，即m＝，即原方程为2－5x＋2＝0，∴ ＝ 2，＝，又AB＝2，故AD＝，即平行四边形ABCD的周长是5. 3. 如图，四边形ABCD 中，∠DAB＝∠DCB＝90°,CD和BC的长是关于x的方程－(m＋2)x ＋(2－m＋)＝0的两个实数根，若AD＝2，求AC的长. 解:∵ ＝ －2(2－m＋)＝－3＋6m－3＝－3≤0,而CD,BC是方程的两根，≥0,故m＝1，∴原方程有两个相等的实数根，∴CD＝BC＝3.延长AB到点E，使BE＝AD＝2,则△CBE≌△CDA，∴△ACE是等腰直角三角形，设AB＝ë，过点C作CH⊥AB于点H，∴CH＝ AE＝ ＋1，HB＝ë－（ ＋1）＝ －1，∴ ＋＝9，∴ë＝ ，∴AC＝ CH＝( ＋1)＝ ＋. 4.如图，矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b（a＞b）. （1）若a,b是－kx＋k＋4＝0的两根，且满足 ＋ ＝40，求k的值； （2）在（1）的条件下，P为CD上一点（异于C、D两点），当P在什么位置时，△APB为直角三角形？ （3）P为DC上一点（异于C、D两点），当a，b满足什么条件时，使△APB为直角三角形的P点有且只有一个？ 解：（1）a＋b＝k,ab＝k＋4.∵ ＋ ＝40，∴ －2ab＝40, －2k－48＝0，解得＝8 ,＝－6,∵k＝a＋b＞0，∴k＝8； （2）k＝8时，－8x＋12＝0,解得 ＝ 2，＝6，a＞b，∴a＝6,b＝2. ∵∠APB＝90º,∴＋ ＝ ,设DP＝x，∴4＋＋4＋ ＝36， ＝ 3＋ ，＝3－，∴DP＝3±； （3）同（2）可列方程 ＋＋＋＝，－ax＋＝0，当＝ －4＝0时P