第2讲 根的判别式与根系关系-讲义（学生版+教师版）2021-2022学年九年级数学人教版上册

第2讲 根的判别式与根系关系 知识导航 1.一元二次方程根的判别式； 2.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）． 【板块一】一元二次方程根的判别式 方法技巧 1.不解方程，判断一元二次方程根的情况； 2.确定一元二次方程中字母参数的取值范围； 3.解决一元二次方程的整数根的问题； 4.求代数式的最值； 5.借助判别式，运用一元二次方程有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题； 题型一 用于参数方程根的判定 【例1】关于 的一元二次方程 ． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根大于 ，求 的取值范围． 【解析】 （1）∵ ，∴方程总有两个实数根； （2）∵ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ． 题型二 判别式求参数的取值范围 【例2】若关于 的方程 有实数根，求 的取值范围． 【解析】分两种情况讨论：① ，此时 ，解得 且 ； ② ，即 ，此时方程为一元一次方程，显然有实数根. 综合①②两种情况，得出 的取值范围为 ． 【例3】已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围． 【解答】 ，且 ，且 ． 解得 ，且 ．∴ 的取值范围是 且 ． 【点评】注意例2与例3的区别与联系． 【例4】若关于 的方程 只有 个不相等的实数根，求 的值或取值范围. 【解析】原方程可化为下面两个方程： ①， ②， 方程① ，方程② ．因为 ， 所以只可能 ，即 ．故 ． 题型三 判别式用于整数根问题 例5 当m是什么整数时，关于x的方程 与 的根都是整数？ 解析：由两个方程都有实数根，得 ，∵ m为整数，∴ m＝－1,0,1 当m＝0时，代入第二个方程，得 ，不合题意，舍去 当m＝1时，方程 为 方程 为 ，其根为 当m＝－1时，方程 为 其根不是整数； 综上，当m＝1时，方程 与 的根都是整数 题型四 判别式法求极值 例6 若x，y是实数，且 ,试确定m的最小值 解析：解法一：将原等式改写为 ，即 ，∵ x是实数，∴ 判别式△≥0，即 ， 配方，得 ，∴ 当y＝3时，m有最小值－22 解法二： ∴ 当x－2y－2＝0且y－3＝0时，即x＝8且y＝3时，m取得最小值－22 针对练习1 1、当k＝ 时，关于x的二次三项式 是完全平方式 解：－3或2 2、已知关于x的方程 有两个相等的实数根，求k的值 解：∵ 关于x的方程 有两个相等的实数根，∴△＝0且k－1≠0 ∴ ，解得k＝1(舍去)或k＝2，∴ k＝2 3、m为何值时，关于x的方程 （1）有两个实根？ （2）只有一个实根？ （3）有实根？ 解：（1）由题意得m≠1且△≥0，得 ，∴当 时，方程有两个实数根 （2）由题意，方程为一元一次方程，此时m－1＝0, ∴当m＝1时，方程为2x＋4＝0，方程只有一个实数根 （3）①当m＝1时，方程2x＋4＝0，方程有一个实数根；②当m≠1时，由题意得 ∴ 当 时，方程有两个实数根。综上所述， 时，方程有实数根 4、已知关于x的一元二次方程 ，其中a,b,c分别为△ABC的三边长 （1）如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：把x＝－1代入方程，得a＋c－2b＋a－c＝0,所以a＝b，故△ABC是等腰三角形 （2）△ABC是直角三角形，理由如下：方程有两个相等的实数根，则 ，故 （3）如果△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，所以方程可化为： ，所以方程的解为 5、若关于x的方程 有且只有两个不相等的实数根，求m的值或取值范围. 解：当m＝0时，方程 ，显然有两个不相等的实数根；当m＞0时，有 或 ， ， ，很明显， 因此 ，故m的取值范围是m＝0或 板块二 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 方法技巧 1、求方程中字母系数的值或取值范围 2、求代数式的值 3、结合根的判别式，判断根的符合特征； 利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足：①a≠0,②判别式△≥0 题型一 根的定义与根系关系结合求值 （一）对称式求值 例1 若 的值 解析 ∵ ，∴ 可以看成是关于x的一元二次方程 的两根， ∴ （二）非对称式求值 例2 设方程 的两个根是 ，求 的值 解析 由 得 ，由韦达定理得 故 点评 利用根的定义，将非对称式转化为对称式，再利用根系关系求值. 题型二 求方程中待定系数的值 （一）先用判别式求字母的范围，再用根系关系求字母的值 例3 已知关于x的方程 （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （