第1讲 一元二次方程及其解法-讲义 2021-2022学年九年级数学人教版数学上册

第21章 一元二次方程 第1讲 一元二次方程及其解法 知识导航 一元二次方程的基本概念； 一元二次方程的基本解法； 可化为一元二次方程的解法. 【板块一】一元二次方程的概念 方法技巧 判断一个方程是不是一元二次方程，先化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0),注意三点：含一个未知数，未知数的最高次数是2，并且为整式方程. 题型一 一元二次方程的概念 【例1】m为何值时，方程， ⑴是一元一次方程；⑵是一元二次方程. 【解析】⑴m＝3，，； ⑵m＝－3 题型二 一元二次方程的一般形式 【例2】将下列关于x的方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项. ①；② 【解析】：①；二次项系数1、一次项系数0和常数项1. ②；二次项系数1、一次项系数1和常数项－15. 题型三 一元二次方程的根 【例3】若正数a是一元二次方程的一个根，－a是一元二次方程的一个根，则a的值是 . 【解析】∵a是一元二次方程的一个根，－a是一元二次方程的一个根，∴①，②，①＋②，得，∴a1＝5，a2＝0， 又∵a＞0，∴a＝5，故答案为5. 【例4】已知a是方程的根，求代数式的值． 【解析】∵a是方程的根，那么，∴，， 原式＝. 【点评】利用方程根的定义，运用整体思想降次，分子可以转化为． 针对练习1 1．若方程是关于x的一元二次方程，则（ B ） A．m ＝ ±2 B．m ＝ 2 C．m ＝ －2 D． m≠±2 2.化方程一般式为：____________； 其二次项系数是 1 ， 一次项系数是______，常数项是 3 . 3.已知关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ A ） A B C D 4.已知关于x的一元二次方程有一个非零实数根－b，则a－b的值为（ A ） A． 1 B． －1 C． 0 D． －2 5.已知m是方程的一个根，求的值． 【解析】∵m是方程的一个根，所以，．又＝ ， ∴原式＝. 6.已知a，b是方程的两个实数根，求的值． 【解析】∵a，b是方程的两个实数根，∴，，， ∴＝. 【板块二】一元二次方程的基本解法 方法技巧 一元二次方程的基本解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.因式分解法解一元二次方程除了提公因式法，公式法(完全平方公式，平方差公式），还有十字相乘法. 题型一 十字相乘法（二次项系数为1） 【例1】用因式分解法解方程： （1） x2＋6x－7＝0； （2）x2＋7x＋10＝0；（3）y2－2y－8＝0； 【解析】 （1）(x＋7)( x－1)＝0，x1＝－7，x2＝1． （2） x1＝－2，x2＝－5； （3）y1＝－2，y2＝4； 题型二 十字相乘法（二次项系数不为1） 【例2】解方程：（1）6x2－23x＋10＝0；（2）－3x2＋22x－24＝0；（3）4x2－31x－45＝0. 【解析】（1）(2x－1)(3x－10)＝0，2x－1＝0或3x－10＝0，解得x1＝，x2＝． （2）(x－6)(3x－4)＝0，x1＝6，x2＝． （3）(x－9)(4x＋5)＝0，x1＝9，x2＝－； 【点评】因式分解法解一元二次方程的步骤可简记为：“右化零，左分解，两因式，各求解”. 题型三 灵活运用因式分解法解方程 【例3】解方程：（1）x2＋x＝3＋； （2） (2－)x2－2(－1)x－6＝0． 【解析】（1）移项得，x2＋x－(＋1)＝0，十字相乘法得，(x－)(x＋＋1)＝0． 解得，x1＝，x2＝； （2）方程两边同乘以2＋，得x2－2(1＋)x－6(2＋)＝0， 十字相乘法分解得，＝0． 所以x1＝，x2＝． 题型四 绝对值方程 【例4】 阅读下面的例题：解方程x2－|x|－2＝0 解：(1)当x≥0时，原方程化为x2－ x－2＝0，解得：x1＝2，x2＝－ 1(不合题意，舍去). (2)当x＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得：x1＝1，(不合题意，舍去)，x2＝－2， ∴原方程的根是x1＝2，x2＝－2. 请参照例题解方程x2－|x－1|－1＝0 【解析】当x≥1时，同x2－x＝0，x1＝0(舍去)，x2＝1 当x＜1时，则x2＋x－2＝0，x1＝1(舍去)，x2＝－2， ∴x1＝1，x2＝－2. 题型五 含参数的一元二次方程 【例5】已知关于x的一元二次方程ax2＋(a2－1)x－a＝0的的一个根为m．若2＜m＜3，求a的取值范围. 【解析】分解得，（ax－1)(x＋a)＝0，解得x＝－a或. 当m＝－a时，－3＜a＜－2； 当m＝时，. 【点评】解含参数的一元二次方程首先尝试因式分解法，若不能，就用公式法. 针对练习2 1.给出一种运算：对于函数，规定