1.1.2 空间向量的数量积运算（备作业）-【上好课】2021-2022学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2 空间向量的数量积运算 一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。 1．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， ∴ ，， 即:，； 平面，直线， 所以当、最短时，平面，， 为的中心，为线段的中点， 如图： 又正四面体的棱长为1， ， 平面， ， ． 故选：A． 2．在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】． 故选B． 3．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是（ ） A．5 B．10 C．12 D．不能确定 【答案】B 【解析】如图所示，由三角形中位线的性质可得,. 所以四边形EFGH是平行四边形， 因为， 所以 . 故选：B. 4．已知，均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】. 故选：C 5．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）所有棱长都为1，且则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图： 由 , , 故选：C 6．如图，正三棱柱的各棱长都为2，分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】取AC的中点M，连结EM，FM，则，， 又，而，则，所以．故选C． 7．已知向量是两两垂直的单位向量，且，则（ ） A．15 B．3 C． D．5 【答案】B 【解析】因为向量是两两垂直的单位向量，且 所以 . 故选：B. 8．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于．若是的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记，，， 因为，， 所以，． 又因为，， 所以，． 易得， 所以， 所以． 故选：A 二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。 9．设是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】解析：因为数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质可知B正确，C中结论不一定成立，D运算正确． 故选：BD． 10．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ） A． B． C．向量与向量的夹角是120° D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为 【答案】ABC 【解析】由向量的加法得到：，，，所以正确； ，，，即，故正确； 是等边三角形，，又，异面直线与所成的夹角为，但是向量与向量的夹角是，故正确； ，，故，因此不正确． 故选：ABC． 11．正方体的棱长为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】如下图所示： 对于A选项，，A选项错误； 对于B选项，，B选项正确； 对于C选项，，C选项正确； 对于D选项，，D选项错误. 故选：BC. 12．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ） A． B． C．向量与向量的夹角是60° D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为 【答案】AB 【解析】由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正确； ∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确； ∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确； ∵AB⊥AA1，∴，故＝0，因此D不正确. 故选：AB. 三、填空题。本大题共4小题。 13．已知，，，则________． 【答案】22 【解析】因为， 所以, ， 故． 故答案为:22 14．已知 ，则____________． 【答案】 【解析】解： ， 所以． 故答案为：． 15．已知空间向量满足，则的值为________． 【答案】 【解析】由两边平方得， 所以， . 故答案为： 16．如图，在直三棱柱中，，，点，，分别是棱，，的中点，点是棱上的点．若，则线段的长度为______． 【答案】 【解析】因为在直三棱柱中，， 因此，以点为坐标原点，以分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，点，，分别是棱，，的中点，所以，，，则， 又点是棱上的点，所以设， 则， 因为，所以，因此. 所以，因此. 故答案为 四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。 17．如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值． 【答案】 【解析】 ∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为