专题10 圆-2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题10 圆 课程要求 《初中课程要求》 平面几何中直线与圆的位置关系包含的知识点较多，方法灵活，抓住核心概念和基本方法即可，对定理的本质要理解，看到相关已知能够联想到需要的定理，常常先分析所求问题的路径，找准方向，综合运用条件加以突破. 直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交.相切和相交是代数与几何研究的重点. 《高中课程要求》 高中的学习是在初中基础上更高层次的拓展与延伸。 热身练习 一、单选题 1．（2020·重庆复旦中学高一开学考试）如图，的直径与弦相交于点，．则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的性质可得，，在直角三角形中，根据三角形的内角和性质，可得答案. 【详解】在圆中，为直径，则 由圆中同弧所对的圆周角相等，得 所以在直角三角形中， 故选：D 2．（2020·北京清华附中高一开学考试）如图，、是切线，、为切点，是直径，，则（ ） A．40° B．80° C．20° D．10° 【答案】C 【分析】由为等腰三角形求出，再证明，最后由得出答案. 【详解】 为等腰三角形，且 是切线，为切点，是直径 即 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆的几何性质，属于基础题. 3．（2020·福建厦门市·厦门一中高一开学考试）如图，已知是半圆的直径，A是延长线上一点，切半圆于点D，于点C，于点F，若，则的半径为（ ） A．3.5 B．4 C． D．3.75 【答案】D 【分析】根据图形，连接OD，作于点H，由切半圆于点D，得到，又，则，易证，得到，设，然后在中，利用勾股定理求解. 【详解】 如图所示： 连接OD，作于点H， 因为切半圆于点D， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， 故选：D 【点睛】本题主要考查圆的切线的性质，切割线定理，勾股定理等面积法以及平行线段成比例定理，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 二、填空题 4．（2020·北京清华附中高一开学考试）如图，是半圆的直径，四边形和都是正方形，其中，，在上，，在半圆上.若，则正方形的面积与正方形的面积之和是______ 【答案】25 【分析】连接，设，由勾股定理得，，两式相减得，从而可求得． 【详解】连接，设， 则，， 两式相减得：， ∵，∴，即， ∴． 故故答案为：25． 【点睛】本题考查勾股定理，正方形的性质，题中证明是解题关键． 知识精讲 1、 直线与圆的位置关系 （一）、基础定义： 1．当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离． 2．当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线．唯一的公共点叫做切点． 3．当直线与圆有两个公共点（即交点）时，叫做直线与圆相交． 4．根据直线与圆公共点个数的情况，相应得到直线与圆的位置关系有三种：相离，相切，相交． （二）、直线与圆位置关系用数量关系描述： 如果的半径长为，圆心到直线的距离为 直线与⊙相交； 直线与⊙相切； 直线与⊙相离. （三）、相关定理： 1．切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2、 点的轨迹 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线. 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线. 典例剖析 一、直线与圆的位置关系 例1.在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2．﹣2）． （1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P相的位置关系； （2）E点是y轴上的一点，若直线DE与⊙P相切，求点E的坐标． 【答案】（1）见解析，点D在⊙P上；（2）E（0，﹣3）． 【解析】（1）如图所示： △ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上； （2）连接PD， ∵直线DE与⊙P相切， ∴PD⊥PE， 利用网格过点D做直线的DF⊥PD，则F（﹣6，0）， 设过点D，E的直线解析式为：y＝kx+b， ∵D（﹣2，﹣2），F（﹣6，0）， ∴， 解得：， ∴直线DE解析式为：y＝﹣x﹣3， ∴x＝0时，y＝﹣3， ∴E（0，﹣3）． 对点精练 1.如图，在平面直角坐标系中，已知点． 请在图中作出经过点A、B、C三点的，并写出圆心M的坐标； ，试判断直线BD与的位置关系，并说明理由． 【答案】如图所示见解析，圆心M的坐标为 直线BD与相切，理由见解析. 【解析】 如图所示，即为所求． 由图知，圆心M的坐标为； 连接MB，DB，DM， ， ， 是直角三角形， ， 即， 直线BD与相切． 3、 点的轨迹 例1.如图，点，将绕点旋转得到. （1）请在图中画出，并写出点的坐标； （2）求旋转过程中点的轨迹长. 【答案】（1