第十五讲 不等关系与不等式-【暑假辅导班】2021年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第十五讲：不等关系与不等式 【学习目标】 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小． 【基础知识】 基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 a>b⇔a－b>0. a＝b⇔a－b＝0. a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 【考点剖析】 考点一：不等式组表示不等关系 例1．为了全面贯彻党的教育方针，落实“立德树人”的根本任务，切实改变边远地区孩子上学难的问题，某市政府准备投资1800万元兴办一所中学.经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是___________. 【答案】 【详解】 设该校有初中班x个，高中班y个，则有： 故答案为： 变式训练1：《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为________. 【答案】 【详解】 设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得： 故答案为： 变式训练2：杯中有浓度为的盐水克，杯中有浓度为的盐水克，其中杯中的盐水更咸一些．若将、两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为___________． 【答案】 【详解】 由题意，将、两杯盐水混合再一起后浓度为， ，， 杯中的盐水更咸一些， ， ， 故答案为：. 变式训练3：已知克盐水中含有克盐，若给盐水加热，蒸发了克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：______. 【答案】 【详解】 原来盐占盐水的比例为，给盐水加热，蒸发了克水后，盐占盐水的比例为，则 考点二：作差法比较大小（一） 例3．比较与两个代数式的大小：； 【答案】（1）； 【详解】 （1）， 因此，； 变式训练1：已知，，则________（用>，<，=填） 【答案】＞ 【详解】 ，， ， 故. 故答案为：. 变式训练2：试比较与的大小. 【答案】 【详解】 因为 ， 变式训练3：比较与的大小； 【答案】详解见解析； 【详解】 作差得： （i）当时，，故； （ii）当时，，故； （iii）当时，，故. 考点三：作差法比较大小（二） 例3．证明不等式： （1）设，求证：； （2）设，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】 证明：（1）因为 ， 因为，所以， 所以，所以； （2）因为 ， 所以. 变式训练1：若，，，比较，，的大小. 【答案】. 详解：∵，，， ∴，即， ，即， 综上可得：. 变式训练2：已知a，，比较与的大小． 【答案】. 【详解】 ，， ， ， 当且仅当，时，等号成立，两式相等． 变式训练3：已知，比较与的大小. 【答案】 【详解】 解： . ∵，， ∴，当且仅当时，取等号， ∴. 考点四：作商法比较大小 例4．设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 变式训练1：，则的大小关系为_______． 【答案】≥ 【详解】 因为，则 由 所以 故答案为： 变式训练2：已知，，试比较与的大小； 【答案】（当且仅当时取等号） 【详解】 由 ，当且仅当时等号成立， 所以（当且仅当时取等号）. 变式训练3：设，比较与的大小 【答案】 【详解】 ， ，. 两数作商 ， . 【当堂小结】 1．知识清单： (1)用不等式(组)表示不等关系． (2)作差法比较大小． (3)重要不等式． 2．方法归纳：作差法． 3．常见误区：实际问题中变量的实际意义． 【过关检测】 1、已知，则_______．（用“>”或“<”填空） 【答案】> 【详解】 因为, 又，，所以，所以， 故答案为：>. 2、已知，则与的大小关系为_______. 【答案】 【详解】 因为， 又，所以. 所以. 故答案为：. 3、设，，则，的大小关系是______. 【答案】. 【详解】 因为，所以. 故答案为：. 4、已知，，则________.（填“>”或“<”） 【答案】 【详解】 ，∴． 故答案为：． 5、已知，，则M________N．（填“>”或“<”） 【答案】 【详解】 ，∴． 故答案为：． 6、设，，，则M与N的大小关系为________. 【答案】 【详解】 ， 故答案为：. 7、已知，为实数，则______．（填