第十七讲 基本不等式-【暑假辅导班】2021年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第十七讲：基本不等式 【学习目标】 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 【基础知识】 基本不等式 1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 【考点剖析】 考点一：对基本不等式的理解 例1．若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 由， 所以， 故选：B 变式训练1：若，则下列不等式不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，利用不等式的性质知，，，故ABD正确； 因为，利用基本不等式知，故C错误. 故选：C 变式训练2：下列关于实数的不等式中，不恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由重要不等式和基本不等式可知A、B、C恒成立 当时不成立， 故选：D 变式训练3：若，且，则（ ） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 【答案】B 【详解】 ∵a，b∈R+，且a≠b， ∴a+b＞2，∴＜， 而＝＞0， ∴＜， 故选：B 考点二：基本不等式性质 例2．下列各式：①，②，③，④.其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】 由可得，故①错误 ，当且仅当，即时等号成立，故②正确 当时，，当且仅当时等号成立，故③错误 ，当且仅当，即时等号成立，故④正确 故选：C 变式训练1：下列选项中恒成立的是（ ） A． B． C．，则 D．且 【答案】D 【详解】 A：当时，显然，所以本选项不符合题意； B：，所以本选项不符合题意； C：由基本不等式可知：当，时，恒成立； 当，时， ，所以本选项不符合题意； D：，因为且， 所以，因此，所以本选项符合题意， 故选：D 变式训练2：下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D．若，，则 【答案】B 【详解】 对于A中，当时，，所以A不正确； 对于B中，由， 当且仅当时，即时，等号成立，即，所以B正确； 对于C中，由， 可得，所以C不正确； 对于D中，，，可得，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，即，所以D不正确. 变式训练3：已知，下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为，则由基本不等式，即，故A错误，D正确； 取，则，故B错误； 取，则，，故C错误. 故选：D. 考点三：基本不等式证明不等式（一） 例3．数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由图可知，，， 在中，，显然， 即. 故选：B 变式训练1：如图是在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（ ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【详解】 通过观察，可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的， 设直角三角形的长直角边为，短直角边为，则大正方形的边长为， 如图，整个正方形的面积大于或等于这四个直角三角形的面积和，即， 当时，中间空白的正方形消失，即整个正方形与四个直角三角形重合. 故选：C. 变式训练2：《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：因为直角三角形的直角边长分别为和，所以大正方形的面积为 由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和， 所以（） 故选：B 变式训练3：《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依