第十六讲 等式性质与不等式性质-【暑假辅导班】2021年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第十六讲：等式性质与不等式性质 【学习目标】 1.了解等式的性质. 2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 【基础知识】 知识点一：等式的基本性质 1．如果a＝b，那么b＝a. 2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4．如果a＝b，那么ac＝bc. 5．如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点二：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【考点剖析】 考点一：不等式性质判断真假 例1．对于任意实数，，，，下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】 A：若，则，故A错误； B：若，则，则，故B错误； C：因为，则，两边同除以，得，故C正确； D：若，则，故D错误. 故选：C. 变式训练1：若，则下列不等关系一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ，，所以 故选：B 变式训练2：已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 故A错误; 故B错误; 故C错误; 故D正确. 故选: D 变式训练3：下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】 对于A：当时，若取，则有.故A不正确； 对于B：当时，取时，有.故B不正确； 对于C：当，两边同乘以，则.故C正确； 对于D：当，取时，有.故D不正确. 故选：C. 考点二：利用不等式性质证明 例2．已知，，，求证： （1）；（2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】 证明：（1）∵且，， ∴即； （2）∵，∴， 又，∴， ∴，∴. 变式训练1：若.求证. 【答案】证明见解析. 【详解】 由， 得， 故得， 即， 又因为， 在不等式两边同时乘以得： ， 不等式得证. 变式训练2：已知，求证： 【答案】见解析 【详解】 因为，故， 要证，即证， 即证， 即证：， 因为，故，故， 因为，故，故，故原不等式成立. 变式训练3：已知，.证明： （1）；（2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】 解：证明：（1）∵，， ∴， 又，， ∴， 故； （2）由，得， 又， ∴， 即， 又， ∴. 考点三：不等式求解范围（一） 例3．已知，，求的范围. 【答案】 【详解】 解：， ，又， . 变式训练1：已知，，则的取值范围是________ 【答案】 【分析】 由条件可得，，然后可得答案. 【详解】 因为，，所以， 所以 故答案为： 变式训练2：若，则的取值范围是_________. 【答案】 【详解】 因为，故，且，所以， 故. 故答案为：. 变式训练3：若角满足，则的取值范围是_________，的取值范围是__________． 【答案】； 【详解】 由， 则，，且， 所以，， 所以的取值范围是，的取值范围是. 故答案为：； 考点四：不等式求解范围（二） 例4．已知，,则的范围___________的范围___________. 【答案】； 【详解】 由，可得， 又由，所以，即， 所以的范围； 由，可得，所以， 又由，所以，即， 所以的范围. 变式训练1：已知实数，满足，，则的最大值是________. 【答案】 【详解】 解：令， 解得：，， 又，， ， 即的最大值是. 故答案为：. 变式训练2：已知，则的取值范围是_________，的取值范围是________． 【答案】； 【详解】 ，即，，， 又，，； 又，，又，. 综上所述：的取值范围为；的取值范围为. 故答案为：；. 变式训练3：已知，，则的范围是_________，的范围是________． 【答案】； 【详解】 ，，两个不等式相加可得，解得， 设， 所以，，解得，， 因为，， 由不等式的基本性质可得. 故答案为：；. 【当堂小结】 1．知识清单： (1)等式的性质． (2)不等式的性质及其应用． 2．方法归纳：作商比较法、乘方比较法． 3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性． 【过关检测】 1、若，则下列不等式中，不能成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】