第十九讲 基本不等式的应用1-【暑假辅导班】2021年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第十九讲：基本不等式的应用 【学习目标】 1．掌握对应的基本不等式求解最值 2．掌握公式，凑项，凑系数，分离，常数代换，换元，平方等方法求解最值 【基础知识】 基本不等式： 基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 【考点剖析】 考点一：公式直接应用 例1．已知，则的值可能为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】 ， ，，即， 当且仅当，即取等号，所以的取值范围为， 故选：B 变式训练1：已知，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由基本不等式知；（当且仅当时取等号）， 的最大值为. 故选：A. 变式训练2：已知函数的图象经过点，则（ ） A．有最大值1 B．有最小值1 C．有最大值4 D．有最小值4 【答案】A 【详解】 解：函数的图象经过点， ，， ，当且仅当时等号成立， 故选：． 变式训练3：已知，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为，，且， 所以， 所以， 所以，即 当且仅当 即，时等号成立，故的最小值． 考点二：凑项 例2．已知，则的最大值为？ 【答案】1； 【详解】 因为，所以， 则. 当且仅当，即时，取等号. 故的最大值为1. 变式训练1：若，则的最小值是___________. 【答案】 【详解】 因为，所以， 所以， 当且仅当即时，取等号成立. 故的最小值为， 故答案为： 变式训练2：设，求的最小值； 【答案】5； 【详解】 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为5； 变式训练3：求函数的最小值. 学生小明的解答过程如下： 使用基本不等式得到，由基本不等式的取等条件有，解得，从而得到，所以函数的最小值为2. 分析小明的过程是否正确，如果不正确请写出正确的解答过程. 【答案】错误，过程见解析．最小值是2． 【详解】 ∵，∴， ∴，当且仅当即时等号才能成立，故值1取不到． 由勾形函数性质知函数在上是增函数，因此在上是增函数，时，．∴ 所求最小值是2． 考点三：凑系数 例3．设，则函数的最大值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，， ，当且仅当，即时，等号成立，即函数的最大值为. 故选：D 变式训练1：已知，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，整理得，即. 所以的最大值为. 故选：D. 变式训练2：设，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：因为0<x<，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为， 故选：C 变式训练3：若，则的最大值为（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】 因为，所以 当且仅当，即时取等号， 则的最大值为1. 故选：B. 考点四：分离 例4．求的最小值______. 【答案】9 【详解】 ， ，， ， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：9. 变式训练1：函数（）的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数（）的最小值为， 故选：B 变式训练2：已知，则的最大值是（ ） A． B． C．2 D．7 【答案】A 【详解】 ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 的最大值为 故选：A 变式训练3：求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）3；（2）；（3）10. 【详解】 （1） ∵（当且仅当，即x=1时取“=”） 即的最小值为3； （2）令，则在是单增， ∴当t=2时，y取最小值； 即y的最小值为 （3）令，则可化为： 当且仅当t=3时取“=” 即y的最小值为10 考点五：常数代换（1代换） 例5．已知，，且，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】 因为，当且仅当，即时取等号，所以， 故选：D. 变式训练1：若，则的最小值为（ ） A． B． C．5 D．4 【答案】B 【详解】 解：， （当且仅当时等号成立） 故选：B． 变式训练2：已知，，，则的最小值为（ ） A．9 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】 ，所以. 变式训练3：已知正数满足，则的最小值等于（ ） A．4