第十八讲 基本不等式的证明（四个平均数）-【暑假辅导班】2021年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第十八讲：基本不等式证明（四个平均数） 【学习目标】 1、掌握四个平均数的表达形式； 2、通过圆的弦长等关系，表示出四个不等式的大小关系. 【基础知识】 四个平均数不等式关系： 对，都有，其中为调和平均数，为几何平均数，为算术平均数，为平方平均数. 结论：由图可知，，则 【考点剖析】 考点一：基本不等式的证明（四个平均数） 例1．由图可知，，则 1、已知. 证明： ， ，， 由图可知，，即证 2、已知，. 证明：. ， ，， 由图可知，，即证. 3、已知，，. 证明：. ，， ，， 有图可知，， ，即 解得 由图可知，，即证. 综上： 变式训练1：《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在半圆O上，且，点C在直径上运动.设，，则由可以直接证明的不等式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 不妨设点C在半径上运动. 由图形可知：，． 在中，由勾股定理可得, ，，. 故选：D． 变式训练2：《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：因为直角三角形的直角边长分别为和，所以大正方形的面积为 由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和， 所以（） 故选：B 变式训练3：《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接.作交于.则下列不等式可以表示的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以. 在中，由射影定理可得，即， 由得， 故选A. 【过关检测】 1、《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由图形可知，，， 由勾股定理可得， 在中，由可得. 故选：D. 2、《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 是半圆的半径，为圆的直径，，由射影定理可知，，在中，，，当 与重合时，，所以，故选D. 3、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 取圆心为O点，连接OF 由图形可知：， 在直角中，根据射影定理可得： 所以 ， ，． ∴. 故选：A. 4、《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接．作交于．由可以证明的不等式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：由射影定理可知，即， 由得， 故选：． 5、（多选题）设，，称为、的算术平均数，为、的几何平均数，为、的调和平均数，称为、的加权平均数.如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆.过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.取弧的中点为，连接，则在图中能体现出的不等式有（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】 对于A选项，，且为半圆的直径，则， 由，可得， 所以，，，， ，由图可知，，即， 当点与点重合时，即当时，等号成立，A选项