题型考点分析 1.2.3 充分条件、必要条件-2022年高考数学一轮复习(同步备课学案+题型分析+课时训练)（2019人教B版必修第一册）

题型考点分析　1.2.3 充分条件、必要条件

【考点一】  充分、必要、充要条件的判断

【典型例题1】  (1)(2019·高考浙江卷)设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4 ”是“ab≤4”的(　　)

A．充分不必要条件           B．必要不充分条件

C．充分必要条件             D．既不充分也不必要条件

(2)(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的(　　)

A．充分而不必要条件          B．必要而不充分条件

C．充要条件                  D．既不充分也不必要条件

(3)(2019·高考北京卷)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】  (1)由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5＞4，不满足a＋b≤4，必要性不成立．故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，选A.

(2)由x2－5x＜0得0＜x＜5，记A＝{x|0＜x＜5}，由|x－1|＜1得0＜x＜2，记B＝{x|0＜x＜2}，显然BA，∴“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件，故选B.

(3)|＋|＞||⇔|＋|＞|－|⇔2＋2＋2·＞2＋2－2·⇔·＞0，由点A，B，C不共线，得〈，〉∈，故·＞0⇔，的夹角为锐角．故选C.

【答案】  (1)A　(2)B　(3)C

【归纳总结】充分、必要、充要条件的判断方法

若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件；

若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；

若pq，q p，则p是q的既不充分也不必要条件．

【考点二】  充要条件的证明

【典型例题2】  已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．

【证明】　①充分性：

∵a＋b＝1，∴b＝1－a，

∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2

＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，

∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，

∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.

∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，

∴a2－ab＋b2≠0.

∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.

综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．

【归纳总结】探求充要条件一般有两种方法

(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．

(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．