备课学案 第一章 1.2.3 充分条件、必要条件-2022年高考数学一轮复习(同步备课学案+题型分析+课时训练)（2019人教B版必修第一册）
1.2.3 充分条件、必要条件
【要点归纳】
一、充分条件与必要条件
1．充分必要条件的定义：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p
q．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
2．对于充分条件与必要条件的理解：对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释
(1)“如果p，那么q”形式的命题为真命题．
(2)由条件p可以得到结论q.
(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p.
(4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的．
(5)q是p的必要条件或p的必要条件是q.
(6)为得到结论q，具备条件p就可以推出．
二、充要条件
1．充要条件：一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
2．充分不必要条件：若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
3．必要不充分条件：若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
4．既不充分也不必要条件：若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
5．对充要条件的理解：
(1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”．
(2)要判断p是不是q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p
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是q的充要条件．
6．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．
(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
(4)若A⊆B且B⊈A，即A⇒B，则p是q的充分不必要条件．
(5)若B⊆A且A⊈B，即B⇒A，则p是q的必要不充分条件．
(6)若A⊈B且B⊈A，则p是q的既不充分也不必要条件．
7．“⇔”的传递性：若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．
【真题演练】
1．(2021·高考浙江卷)已知非零向量
，
，
，则“·=·”是“=”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 如图所示，
=
，
=
，
=
，
=－，
当AB⊥OC时，－与垂直，(－)·=0，
所以·=·成立，此时≠，
∴·=·不是=的充分条件，
当=时，－=0，∴(－)·=0·。∴·=·成立，
∴·=·是=的必要条件，
综上所述，“·=·”是“=”的必要不充分条件。故选B。
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【答案】 B
2．(2021·高考全国甲卷理数)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙:{Sn}是递増数列，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解析】 对于等比数列{an}的前n项和Sn=
为递增数列，则满足条件Sn+1>Sn。若a1 >0，当0<q<1时，既
>成立。当q>1时，>成立。当q=1时。Sn+1=Sn+ a1>Sn，所以成立。当a1 <0时，当0<q<1时，既>不成立。所以甲是乙的必要条件但不是充分条件。选B
【答案】 B 。
3．(2020·高考天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.
【答案】 A
4．(2020·烟台模拟)已知a，b都是实数，那么“b>a>0”是“
>
”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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