备课学案 第一章 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-2022年高考数学一轮复习(同步备课学案+题型分析+课时训练)（2019人教B版必修第一册）

1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定

【要点归纳】

一、命题的否定

1．命题的否定：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p ”，读作“非p”或“p的否定”．

2．命题的真假与命题的否定的真假：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然．

3．常见的命题的否定形式有：

二、全称量词命题与存在量词命题的否定

1．全称量词的否定：全称量词命题p：∀x∈M，q(x)。它的否定﹁p：∃x∈M，¬q(x)。

2．存在量词的否定：存在量词命题p：∃x∈M，p(x)。它的否定﹁p：∀x∈M，¬p(x)。

3．结论：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。

4．全称量词命题与存在量词命题的否定判断真假：

(1)要否定全称量词命题“∀x∈M，q(x)”，只需在M中找到一个x，使得q(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬q(x)”成立．

(2)要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成立．

【真题演练】

1．(2021·内蒙古呼和浩特市高三调研)已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　　)

A．命题¬p是真命题

B．命题p是特称命题

C．命题p是全称命题

D．命题p既不是全称命题也不是特称命题

【解析】　命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故¬p是假命题，命题p是全称命题，故选C．

【答案】  C

2．(2021·重庆一中模拟)命题p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，则(　　)

A．p是假命题，¬p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1

B．p是假命题，¬p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1

C．p是真命题，¬p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1

D．p是真命题，¬p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1

【解析】　因为0<log32<1，所以∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1．p是真命题，¬p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1．

【答案】  C

3．(2020·安徽蚌埠第一次教学质量检查)命题p：存在常数列不是等比数列，则命题﹁p为(　　)

A．任意常数列不是等比数列

B．存在常数列是等比数列

C．任意常数列都是等比数列

D．不存在常数列是等比数列

【解析】  因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数列不是等比数列的否定命题﹁p：任意常数列都是等比数列，故选C．

【答案】  C

4．(2020·武汉模拟)命题“∃x∈(0，+∞)，ln x=x－1”的否定是 (　　)

A．∀x∈(0，+∞)，ln x≠x－1

B．∀x∉(0，+∞)，ln x=x－1

C．∃x∈(0，+∞)，ln x≠x－1

D．∃x∉(0，+∞)，ln x=x－1

【解析】  改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，否定结论，即ln x≠x－1．

【答案】  A

5．(2020·辽宁省沈阳市一模)命题p：∀x∈(0，＋∞)，x＝x，则¬p为(　　)

A．∃x∈(0，＋∞)，x≠x　　 B．∀x∈(0，＋∞)，x≠x

C．∃x∈(－∞，0)，x≠x　　 D．∀x∈(－∞，0)，x≠x

【解析】　∵p：∀x∈(0，＋∞)，x＝x，∴¬p：∃x∈(0，＋∞)，x≠x，故选：A．

【答案】  A

6．(2020·西安模拟)命题“∀x＞0，＞0”的否定是(　　)

A．∃x＜0，≤0  B．∃x＞0，0≤x≤1

C．∀x＞0，≤0  D．∀x＜0，0≤x≤1

【解析】  因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0，0≤x≤1，故选B．

【答案】  B

7．(2019·洛阳模拟)已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0；q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0．若“p∨q”为假命题，则实数m的取值范围是(　　)

A．[2，＋∞) B．(－∞，－2]

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2，2]

【解析】　依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，则有∀x∈R，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2．因此由p，q均为假命题，得即m≥2．故选A．

【答案】  A

8．(2019·福建三校联考)若命题“∃x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－，]

B．(－∞，－]∪[，＋∞)