备课学案 第一章 1.1.2集合的基本关系-2022年高考数学一轮复习(同步备课学案+题型分析+课时训练)（2019人教B版必修第一册）

1.1.2集合的基本关系

【要点归纳】

一、维恩图

1．维恩图定义：一般地，如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图．

2．维恩图的优点及其表示

(1)优点：形象直观．

(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．

二、子集

1．概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集．“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B．

2．记法：A⊆B(或B⊇A)，Venn图表示，如图所示。

3．读法：A包含于B(或“B包含A”)

4．如果A不是B的子集，记作A⊈B(或B⊉A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”)．

5．性质：A⊆A；∅⊆A．

注意事项：

(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．

(2)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．

(3)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．

(4)并不是任意两个集合之间都具有包含关系．例如：A＝{1，2}，B＝{1，3}，因为

2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集．

(5)子集有下列两个性质：

①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；

②传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C．

三、真子集

1．概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集．

2．记法：AB(或BA) ，Venn图表示，如图所示。

3．读法：A真包含于B(或“B真包含A”)

4．子集、真子集的性质：对于集合A，B，C，①如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；②如果AB，BC，则AC．

注意事项：

在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A．

四、集合的相等

1．一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”．

2．由集合相等以及子集的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A．Venn图表示，如图所示。

五、集合子集、真子集的个数

假设集合A中含有n个元素，则有：

1．A的子集的个数为2n个；

2．A的真子集的个数为2n－1个；