备课学案 第一章 1.1.2集合的基本关系-2022年高考数学一轮复习(同步备课学案+题型分析+课时训练)（2019人教B版必修第一册）

1.1.2集合的基本关系 【要点归纳】 一、维恩图 1．维恩图定义：一般地，如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图． 2．维恩图的优点及其表示 (1)优点：形象直观． (2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合． 二、子集 1．概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集．“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B． 2．记法：A⊆B(或B⊇A)，Venn图表示，如图所示。 3．读法：A包含于B(或“B包含A”) 4．如果A不是B的子集，记作A⊈B(或B⊉A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”)． 5．性质：A⊆A；∅⊆A． 注意事项： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B． (2)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)． (3)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B． (4)并不是任意两个集合之间都具有包含关系．例如：A＝{1，2}，B＝{1，3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集． (5)子集有下列两个性质： ①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A； ②传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C． 三、真子集 1．概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集． 2．记法：A B(或B A) ，Venn图表示，如图所示。 3．读法：A真包含于B(或“B真包含A”) 4．子集、真子集的性质：对于集合A，B，C，①如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；②如果A B，B C，则A C． 注意事项： 在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A． 四、集合的相等 1．一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”． 2．由集合相等以及子集的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A．Venn图表示，如图所示。 五、集合子集、真子集的个数 假设集合A中含有n个元素，则有： 1．A的子集的个数为2n个； 2．A的真子集的个数为2n－1个； 3．A的非空真子集的个数为2n－2个． 【试题演练】 1．(2021·安徽天长一中第二次质量检测)设集合P＝，集合T＝{x|mx＋1＝0}．若T⊆P，则实数m的取值组成的集合是(　 　) A．　 B． C． D． 【解析】　由2．故选C．．综上，实数m的取值组成的集合是或m＝＝－3，得m＝－＝2或－，由T⊆P，得－＝2x＋6，∴x2＋2x＝x＋6，即x2＋x－6＝0，∴集合P＝{2，－3}．若m＝0，则T＝∅⊆P．若m≠0，则T＝－x－6，得2＝ 【答案】 C 2．(2021·武汉市武昌区高三调考)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为(　 　) A．(1，3)　 B．[1，3]　 C．[1，＋∞) D．(－∞，3] 【解析】　由log2(x－1)<1，得0<x－1<2，即1<x<3，所以A＝(1，3)．由|x－a|<2得a－2<x<a＋2，即B＝(a－2，a＋2)．因为A⊆B，所以解得1≤a≤3，所以实数a的取值范围为[1，3]，故选B． 【答案】 B 3．(2021·广东阳江月考)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　 　) A．(－1，＋∞)　 B．[－1，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 【解析】 ∵集合A＝{x|x2－2x－3≤0}＝[－1，3]，B＝{x|x<a}＝(－∞，a)，且A⊆B，∴a>3，∴a的取值范围为(3，＋∞)．故选C． 【答案】 C 4．(2020·福建厦门质量检查)已知集合A＝{x|x2－4x＋3>0}，B＝{x|x－a<0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为(　　) A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 【解析】 A＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，B＝{x|x－a<0}＝{x|x<a}．因为B⊆A，所以a≤1．故选D． 【答案】 D 5．(2020·大庆模拟)集合A=，B={y|y=x2+1，x∈A}，则集合B的子集个数为 (　　) A．5 B．8 C．3