备课学案 第一章 1.1.1集合及其表示方法-2022年高考数学一轮复习(同步备课学案+题型分析+课时训练)（2019人教B版必修第一册）

1.1.1集合及其表示方法

【要点归纳】

一、元素与集合的概念

1．集合：把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集)，通常用英文大写字母A，B，C，…表示。

2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示。

3．元素的特性

①确定性：集合的元素必须是确定的。

②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的。

③无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关。

二、元素与集合的关系

注意事项：

(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．

(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如“R∈0”是错误的．

三、空集

1．定义：不含任何元素的集合．

2．符号：∅．

四、集合的分类及常用数集

1．集合的分类

(1)集合

(2)空集是有限集．

2．常用的数集及其记法

五、集合的表示方法

1．列举法：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．

注意事项：

(1)应用列举法表示集合时应关注以下四点：

①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；

③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物．

(2)a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由一个元素a构成，a是集合{a}的元素．

2．描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．

注意事项：

(1)应用描述法表示集合时应关注以下三点：①写清楚集合中元素的符号，如数或点等；②说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；③不能出现未被说明的字母．

(2)注意区分以下四个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R；②B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y＝x2＋1的图像上的点组成的集合；④P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1．

五、区间的概念及表示

1．区间的定义及表示

设a，b是两个实数，而且a<b．

(2)无穷的概念及无穷区间的表示

注意事项：区间是集合的又一种表示形式，对于区间的理解应注意：

(1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a称为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a}．

(2)注意开区间(a，b)与点(a，b)在具体情景中的区别．

(3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心圈的区别．

(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示．

【试题演练】

1．(2021·北京人大附中月考)定义集合运算：A★B＝{z|z＝x2－y2，x∈A，y∈B}．设集合A＝{1，}，B＝{－1，0}，则集合A★B的元素之和为(　　)

A．2　 B．1