第8讲 圆锥曲线中的定点、定值问题-2021-2022学年高二数学多选题专项提升（人教A版2019选择性必修第一册）

圆锥曲线中的定点、定值问题 一．多选题（共8小题） 1．以下四个关于圆锥曲线的命题中真命题有 　　 A．设 ， 为两个定点， 为非零常数， ，则动点 的轨迹为椭圆 B．设定圆 上一定点 作圆的动弦 ， 为坐标原点，若 ，则动点 的轨迹为圆 C．方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．双曲线 与椭圆 有相同的焦点 2．在平面直角坐标系中，曲线 上任意点 与两个定点 和点 连线的斜率之和等于2，则关于曲线 的结论正确的有 　　 A．曲线 是轴对称图形 B．曲线 上所有的点都在圆 外 C．曲线 是中心对称图形 D．曲线 上所有点的横坐标 满足 3．设 ， 是抛物线 上的两点， 是坐标原点，下列结论成立的是 　　 A．若 ，则 B．若 ，直线 过定点 C．若 ， 到直线 的距离不大于1 D．若直线 过抛物线的焦点 ，且 ，则 4．设椭圆 的右焦点为 ，直线 与椭圆交于 ， 两点，则 　　 A． 为定值 B． 的周长的取值范围是 ， C．当 时， 为直角三角形 D．当 时， 的面积为 5．已知双曲线 ，不与 轴垂直的直线 与双曲线右支交于点 ， 在 轴上方， 在 轴下方），与双曲线渐近线交于点 ， 在 轴上方）， 为坐标原点，下列选项中正确的为 　　 A． 恒成立 B．若 ，则 C． 面积的最小值为1 D．对每一个确定的 ，若 ，则 的面积为定值 6．如图，已知椭圆 ，过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 ， 两点，连接 ， 并延长分别交 于 ， 两点，连接 ， 与 的面积分别记为 ， ．则在下列命题中，正确的是 　　 A．若记直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 的大小是定值为 B． 的面积 是定值1 C．线段 ， 长度的平方和 是定值5 D．设 ，则 7．已知 、 是椭圆 短轴上的两个顶点，点 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点 与点 关于 轴对称，则下列四个命题中正确的是 　　 A．直线 与 的斜率之积为定值 B． C．△ 的外接圆半径的最大值为 D．直线 与 的交点 的轨迹为双曲线 8．如图，两个椭圆 ， 内部重叠区域的边界记为曲线 ， 是曲线 上的任意一点，下列四个判断中正确命题为 　　 A． 到 、 、 、 四点的距离之和为定值 B．曲线 关于直线 、 均对称 C．曲线 所围区域面积必小于36 D．曲线 总长度不大于 $ 圆锥曲线中的定点、定值问题 参考答案与试题解析 一．多选题（共8小题） 1．以下四个关于圆锥曲线的命题中真命题有　　 A．设，为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为椭圆 B．设定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为圆 C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．双曲线与椭圆有相同的焦点 【分析】根据题意，依次分析4个命题，由椭圆的定义分析可得错误；对于、分析可得是中点，结合垂径定理分析可得正确；对于、求出方程的两根，分析可得两根的大小可得正确；对于、分析椭圆、双曲线的焦点位置即可得不正确，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析4个命题： 若动点的轨迹为椭圆则需满足，故错误； 若，则是中点，即，所以的轨迹是以为直径的圆，故正确； 方程的两根分别为或，而，故正确； 双曲线焦点在轴上，椭圆的焦点在轴上；故不正确 故选：． 【点评】本题考查常见圆锥曲线的定义以及简单性质，关键是熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的地定义． 2．在平面直角坐标系中，曲线上任意点与两个定点和点连线的斜率之和等于2，则关于曲线的结论正确的有　　 A．曲线是轴对称图形 B．曲线上所有的点都在圆外 C．曲线是中心对称图形 D．曲线上所有点的横坐标满足 【分析】根据直线的斜率公式求得点轨迹方程，即可判断结论． 【解答】解：设，则，即，，整理得，， 所以曲线是中心对称图形，不是轴对称图形，故正确，错误， 由，所以曲线上所有的点都在圆外，故正确； 由可知，且，，故错误， 故选：． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查函数与方程的关系，考查转化思想，属于中档题． 3．设，是抛物线上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是　　 A．若，则 B．若，直线过定点 C．若，到直线的距离不大于1 D．若直线过抛物线的焦点，且，则 【分析】若，显然直线的斜率存在，设直线的方程为：， 联立方程，消去得：， 设，，，， 【解答】解：对于选项，，，，，，，，， ，当且仅当时等号成立，故选项正确； 对于选项：若，显然直线的斜率存在，设直线的方程为：， 联立方程，消去得：， 设，，，， ，， ， ，，， ，或1， 易知直线不过原点，， 直线的方程为：，恒过定点，故选项错误， 原点到直线的距离，，，，故选项正确； 对于选项：直线过抛物线的焦点，设直线的方程为：， 联立方程，消去得：， 设，，，，不妨设点在轴右侧， ，， ，