专训1.1.3 勾股定理与弦图计算-2021-2022学年八年级数学上册课后培优练（北师大版）

专训1.1.3 勾股定理与弦图计算 一、单选题 1．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是（ ） A．6 B．7 C．12 D．15 【答案】C 【分析】 先根据勾股弦图是由4个直角三角形的面积加上小正方形的面积构成得到一个直角三角形的面积，在利用勾股定理和完全平方公式计算出一个直角三角形的两直角边的和，再加上斜边即可． 【详解】 设直角三角形两条直角边长分别为和， 由题意可知：中间小正方形的边长为：， 根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知： ， 所以， 根据勾股定理，得， 所以， 因为， 所以， 所以． 所以一个直角三角形的周长是12． 故选：． 【点睛】 本题考查勾股定理及赵爽弦图、灵活使用完全平方公式是本题的关键． 2．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答． 【详解】 解：如图， ①∵△ABC为直角三角形， ∴根据勾股定理：x2+y2=AB2=49， 故本选项正确； ②由图可知，x-y=CE==2， 故本选项正确； ③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为 4××xy+4=49，即2xy+4=49； 故本选项正确； ④由2xy+4=49可得2xy=45（1）， 又∵x2+y2=49（2）， ∴（1）+（2）得，x2+2xy+y2=49+45， 整理得，（x+y）2=94，x+y=≠9， 故本选项错误． ∴正确结论有①②③． 故选C． 【点睛】 本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键． 3．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（　　） A．小正方形面积为4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24 【答案】C 【分析】 根据勾股定理解答即可． 【详解】 解：根据题意可得：x2+y2＝25，故B错误， ∵（x+y）2＝49， ∴2xy＝24，故D错误， ∴（x﹣y）2＝1，故A错误， ∴x2﹣y2＝7，故C正确； 故选：C． 【点睛】 本题考查勾股定理，解题的关键是学会用整体恒等变形的思想，属于中考常考题型． 4．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积是（　　） A．1或4 B．4 C．1 D．2或4 【答案】B 【分析】 3和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长=2，即可得出小正方形的面积；即可得出结果． 【详解】 解：3和5为两条直角边长时， 小正方形的边长=5-3=2， ∴小正方形的面积22=4； 故选：B． 【点睛】 本题考查了勾股定理，理解直角三角形的边长与小正方形的边长之间的关系是解答此题的关键． 5．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用、表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（　　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】 根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形的面积的计算公式以及勾股定理按顺序判断即可． 【详解】 ①∵为直角三角形， ∴， 故①正确； ②由图可知：， 故②正确； ③由图可知：四个直角三角形与小正方形面积之和等于大正方形面积， 由此可得：，即：， 故③正确； ④由①③相加可得：， 即， 故， 故④正确； 故选：D． 【点睛】 本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为弦图，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解答本题的关键． 6．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为48，小正方形面积为6，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x>y），则的值为（ ） A．60 B．79 C．84 D．90 【答案】D 【分析】 根据勾股定理流出方程，进而利用完全平方公式解答即可． 【详解】 解：∵大正方形的边长是直角三角形的斜边长， ∴根据勾股定理可得：， 根据