专题07 平面向量-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（全国通用）

专题07 平面向量 1．（2021·浙江高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】若 ，则 ，推不出 ；若 ，则 必成立， 故“ ”是“ ”的必要不充分条件 故选：B. 2．（2021·全国高考真题）已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A： ， ，所以 ， ，故 ，正确； B： ， ，所以 ，同理 ，故 不一定相等，错误； C：由题意得： ， ，正确； D：由题意得： ， ，故一般来说 故错误； 故选：AC 3．（2021·全国高考真题（文））若向量 满足 ，则 _________. 【答案】 【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案 【详解】∵ ∴ ∴ . 故答案为： . 4．（2021·浙江高考真题）已知平面向量 满足 .记向量 在 方向上的投影分别为x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为___________. 【答案】 【分析】设 ，由平面向量的知识可得 ，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】由题意，设 ， 则 ，即 ， 又向量 在 方向上的投影分别为x，y，所以 ， 所以 在 方向上的投影 ， 即 , 所以 ， 当且仅当 即 时，等号成立， 所以 的最小值为 . 故答案为： . 【点睛】解决本题的关键是由平面向量的知识转化出 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值. 5．（2021·全国高考真题（文））已知向量 ，若 ，则 _________． 【答案】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于 的方程，解方程即可求得实数 的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ， 解方程可得： . 故答案为： . 6．（2021·北京高考真题） ， ， ，则 _______； _______． 【答案】0 3 【分析】根据坐标求出 ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可. 【详解】 ， ， ， . 故答案为：0；3. 7．（2021·天津高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为____________． 【答案】1 【分析】设 ，由 可求出；将 化为关于 的关系式即可求出最值. 【详解】设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 为边长为 的等边三角形， ， ， ， ， 所以当 时， 的最小值为 . 故答案为：1； . 8．（2021·江苏高考真题）已知向量 ， ，设函数 . （1）求函数 的最大值; （2）在锐角 中，三个角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，求 的面积. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得 ，进而可得 的最大值； （2）由锐角 ，推出 ，再结合 （B） ，求得 ，由正弦定理知 ，再利用余弦定理求出 ， ，最后由三角形面积公式得解． 【详解】（1）因为 ， ， 所以函数 ∴当 时， （2）∵ 为锐角三角形， . 又 即 1．（2021·安徽高三其他模拟（文））在 中， ， ， ，则 （ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算算出答案即可. 【详解】因为 ， 因为 ， 所以 ，即 ，所以 . 故选：C 2．（2021·福建高三其他模拟）向量 ， ．若 ，则 （ ）． A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】解法一：利用向量的坐标运算求得 ， 的坐标，再根据向量垂直的条件建立方程，解之可得选项. 解法二：根据向量垂直的条件得出 ，再运用向量数量积的运算律求得 ，从而可得选项. 【详解】解法一： ， ， 因为 ，所以 ， 即 ，解得 ． 解法二：因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 ． 故选：C. 3．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））在菱形 中， ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用 、 表示向量 、 ，利用平面向量数量积的定义与运算性质可计算得出 的值. 【详解】由平面向量数量积的定义可得 ， 因为 ， 所以 . 故选：B. 4．（2021·福建三明市·三明一中高三其他模拟）已知向量