专题06 三角函数及解三角形-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（全国通用）

专题06 三角函数及解三角形 1．（2021·江苏高考真题）若函数 的最小正周期为 ，则它的一条对称轴是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 ，可得 ，所以 ，令 ，得 ，从而可得到本题答案. 【详解】由题，得 ，所以 ， 令 ，得 ， 所以 的对称轴为 ， 当 时， ， 所以函数 的一条对称轴为 . 故选：A 2．（2021·全国高考真题（文））函数 的最小正周期和最大值分别是（ ） A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简 ，结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选项. 【详解】由题， ，所以 的最小正周期为 ，最大值为 . 故选：C． 3．（2021·北京高考真题）函数 ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2 C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为 【答案】D 【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值. 【详解】由题意， ，所以该函数为偶函数， 又 ， 所以当 时， 取最大值 . 故选：D. 4．（2021·全国高考真题）若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入 即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 5．（2021·浙江高考真题）已知 是互不相同的锐角，则在 三个值中，大于 的个数的最大值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式或排序不等式得 ，从而可判断三个代数式不可能均大于 ，再结合特例可得三式中大于 的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有 ， 同理 ， ， 故 ， 故 不可能均大于 . 取 ， ， ， 则 ， 故三式中大于 的个数的最大值为2， 故选：C. 法2：不妨设 ，则 ， 由排列不等式可得： ， 而 ， 故 不可能均大于 . 取 ， ， ， 则 ， 故三式中大于 的个数的最大值为2， 故选：C. 【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 6．（2021·全国高考真题（文））在 中，已知 ， ， ，则 （ ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设 ， 结合余弦定理： 可得： ， 即： ，解得： （ 舍去）， 故 . 故选：D. 【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角； (2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形． 7．（2021·全国高考真题（文））若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式可得 ，再结合已知可求得 ，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ， ， ，解得 ， ， . 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出 . 8．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质可判断 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出 不符合题意， 符合题意． 【详解】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合题意； 对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以其最小值不为 ，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取等号，所以其最小值为 ，C符合题意； 对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 9．（2021·全国高考真题（文）） （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合诱导公式可得 ，再由二倍角公式即可得解. 【详解】由题意， . 故选：D. 10．（2021·全国高考真题）下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式 ，利用赋值法可得出结论. 【详解】因为函数 的单调递增区间为 ， 对于函数 ，由 ， 解得 ， 取 ，可得函数 的一个单调递增区间为