专题05 平面解析几何-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（全国通用）

专题05 平面解析几何 1．（2021·全国高考真题（文））设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设点 ，由依题意可知， ， ，再根据两点间的距离公式得到 ，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值． 【详解】设点 ，因为 ， ，所以 ， 而 ，所以当 时， 的最大值为 ． 故选：A． 【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.． 2．（2021·全国高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为 ， 其到直线 的距离： ， 解得： ( 舍去). 故选：B. 3．（2021·北京高考真题）双曲线 过点 ，且离心率为 ，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可得 ，再将点 代入双曲线的方程，求出 的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】 ，则 ， ，则双曲线的方程为 ， 将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ， 因此，双曲线的方程为 . 故选：A. 4．（2021·北京高考真题）已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截得圆 弦长的最小值为2，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出 【详解】由题可得圆心为 ，半径为2， 则圆心到直线的距离 ， 则弦长为 ， 则当 时，弦长取得最小值为 ，解得 . 故选：C. 5．（2021·全国高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（ ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式 即可得到答案． 【详解】由题， ，则 ， 所以 （当且仅当 时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解. 6．（2021·全国高考真题（文））点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ， 结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： . 故选：A. 7．（2021·天津高考真题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】设公共焦点为 ，进而可得准线为 ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得 ，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ， 则抛物线 的准线为 ， 令 ，则 ，解得 ，所以 , 又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ， 所以 ，即 ，所以 ， 所以双曲线的离心率 . 故选：A. 8．（2021·全国高三其他模拟（文））已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，点 ，则 的平分线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先依题意判断 ，设 的平分线交x轴于M，设 ，计算 ，求得 ，即得角平分线所在直线 的斜率，再根据点斜式写直线方程即可. 【详解】如图，依题意知 ， ，而 点 在双曲线上，故 ， ， . 设 的平分线交x轴于M，设 ，则 ， 有 ，即 ， ， 化简解得 ，故 的平分线所在直线 的斜率 ， 所以 的平分线的方程为 ，即 . 故选：A. 9．（2021·全国高考真题）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（ ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为 的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】圆心 到直线l的距离 ， 若点 在圆C上，则 ，所以 ， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点 在圆C内，则 ，所以 ， 则直线l与圆C相离