专题04 立体几何-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（全国通用）

专题04 立体几何 1．（2021·全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断. 【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示， 所以其侧视图为，故选D． 2．（2021·全国高考真题（理））在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平移直线 至 ，将直线 与 所成的角转化为 与 所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接 ，因为 ∥ ， 所以 或其补角为直线 与 所成的角， 因为 平面 ，所以 ，又 ， ， 所以 平面 ，所以 ， 设正方体棱长为2，则 ， ，所以 . 故选D． 3．（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积. 【详解】几何体为如图所示的四棱柱 ，其高为1，底面为等腰梯形 ， 该等腰梯形的上底为 ，下底为 ，腰长为1，故梯形的高为 ， 故 ， 故选：A. 4．（2021·北京高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积. 【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥 ， 其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形， 由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1， 故其表面积为 ， 故选：A. 5．（2021·北京高考真题）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（ ）来判断降雨程度．其中小雨（ ），中雨（ ），大雨（ ），暴雨（ ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】B 【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解. 【详解】由题意，一个半径为 的圆面内的降雨充满一个底面半径为 ，高为 的圆锥， 所以积水厚度 ，属于中雨. 故选：B. 6．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体 ，M，N分别是 ， 的中点，则（ ） A．直线 与直线 垂直，直线 平面 B．直线 与直线 平行，直线 平面 C．直线 与直线 相交，直线 平面 D．直线 与直线 异面，直线 平面 【答案】A 【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证 平面 ，即可得出结论. 【详解】 连 ，在正方体 中， M是 的中点，所以 为 中点， 又N是 的中点，所以 ， 平面 平面 ， 所以 平面 . 因为 不垂直 ，所以 不垂直 则 不垂直平面 ，所以选项B,D不正确； 在正方体 中， ， 平面 ，所以 ， ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ， 且直线 是异面直线， 所以选项B错误，选项A正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系. 7．（2021·全国高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 则该圆锥的侧面积为________. 【答案】 【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案. 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ . 故答案为： . 8．（2021·全国高考真题（文））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）． 【答案】③④（答案不唯一） 【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可. 【详解】选择侧视图为③，俯视图为④， 如图所示，长方体 中， ， 分别为棱 的中点， 则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥 . 故答案为：③④. 【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系. 9．（2021·全国高考真题（文））如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，M为 的中点，且 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）若 ，求四棱锥 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【分析】（1）由 底面 可得 ，又 ，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面 平面 ； （2）由（1）可知， ，由平面知识可知， ，由相似比可求出 ，再根据四棱锥 的体积公式即可求出． 【详