专题03 导数及其应用-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（全国通用）

专题03 导数及其应用 1．（2021·全国高考真题（文））设函数 ，其中 . （1）讨论 的单调性； （2）若 的图像与 轴没有公共点，求a的取值范围. 【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 ；（2） . 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性. （2）根据 及（1）的单调性性可得 ，从而可求a的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为 ， 又 ， 因为 ，故 ， 当 时， ；当 时， ； 所以 的减区间为 ，增区间为 . （2）因为 且 的图与 轴没有公共点， 所以 的图象在 轴的上方， 由（1）中函数的单调性可得 ， 故 即 . 【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化. 2．（2021·全国高考真题（文））已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2) 和 . 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性； (2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】(1)由函数的解析式可得： ， 导函数的判别式 ， 当 时， 在R上单调递增， 当时，的解为： ， 当 时，单调递增； 当 时，单调递减； 当 时，单调递增； 综上可得：当时，在R上单调递增， 当时，在 ， 上 单调递增，在 上单调递减. (2)由题意可得： ， ， 则切线方程为： ， 切线过坐标原点，则： , 整理可得： ，即： ， 解得：，则， 切线方程为： , 与联立得 ， 化简得 ,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根， 是 的一个因式，∴该方程可以分解因式为 解得 , ， 综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和 . 【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根. 3．（2021·浙江高考真题）设a，b为实数，且 ，函数 （1）求函数 的单调区间； （2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围； （3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 . (注： 是自然对数的底数) 【答案】(1) 时， 在 上单调递增； 时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为 ； (2) ； (3)证明见解析. 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性； (2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围； (3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立. 【详解】(1) ， ①若 ，则 ，所以 在 上单调递增； ②若 ， 当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增. 综上可得， 时， 在 上单调递增； 时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为 . (2) 有2个不同零点 有2个不同解 有2个不同的解， 令 ，则 ， 记 ， 记 ， 又 ，所以 时， 时， ， 则 在 单调递减， 单调递增， ， . 即实数 的取值范围是 . (3) 有2个不同零点，则 ，故函数的零点一定为正数. 由(2)可知有2个不同零点，记较大者为 ，较小者为 ， ， 注意到函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 故 ，又由 知 ， ， 要证 ，只需 ， 且关于 的函数 在 上单调递增， 所以只需证 ， 只需证 ， 只需证 ， ，只需证 在 时为正， 由于 ，故函数 单调递增， 又 ，故 在 时为正， 从而题中的不等式得证. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用． 1．（2021·山西高三三模（文））已知 ，设函数 的图象在点 处的切线为l，则l过定点（ ） A． B． C．