第02讲 指数函数（考点讲解+分层训练）-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）

第02讲 指数函数 【学习目标】 1.了解指数函数的概念. 2.会画出指数函数图象. 3.掌握并能应用指数函数的性质． 【知识结构】 【考点总结】 一、指数函数的概念 1、定义：一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R． 2、指数函数的特征： 特征 例如函数y＝－3×4x和y＝x4均不符合指数函数的特征，故不是指数函数．其中函数y＝kax(kR，且k≠0，a＞0，且a≠1)称为指数型函数． 指数函数的概念中为什么要规定a＞0，且a≠1? (1)若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义． (2)若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义． 如(－2)x，这时对于x＝，x＝，…，在实数范围内函数值不存在． (3)若a＝1，则对于任何xR，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性． 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1．在规定以后，对于任何xR，ax都有意义，且ax＞0． 二、指数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象，关于y轴对称 【例题解析】 题型一　指数函数的概念及应用 【例1】　(1)给出下列函数： ①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　 D．4 (2)已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________. 解析　(1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数． (2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝a－＝5－，故a＝5，故f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125. 答案　(1)B　(2)125 规律方法　判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数． 【变式】若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(　　) A．a＝1或－1　　　 B．a＝1 C．a＝－1　　 D．a>0且a≠1 解析　由条件知解得a＝－1. 答案　C 题型二　指数函数图象的应用 【例2】　(1)函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________． (2)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝x＋1＋2的图象？并画出相应图象． (1)解析　因为y＝ax的图象过定点(0,1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(x)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1，－1)． 答案　(－1，－1) (2)解　y＝x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2. 作函数y＝3x的图象关于y轴的对称图象得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝x＋1＋2的图象，如图所示． 规律方法　处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 【变式】(1)函数y＝2|x|的图象是(　　) (2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 解析　(1)y＝2|x|＝故选B． (2)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0. 答案　(1)B　(2)D 题型三　指数型函数的定义域、值域问题 【例3】　(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．(－3,0]　　　 B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0]　　 D．(－∞，－3)∪(－3,1] (2)函数f(x)＝x－1，x∈[－1,2]的值域为________． (3)函数y＝4x＋2x＋1＋1