第01讲 指数（考点讲解+分层训练）-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）

第01讲 指数 【学习目标】 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义. 2.会进行根式与分数指数幂的互化. 3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质． 【知识结构】 【考点总结】 一、根式及相关概念 1．a的n次方根的定义 (1)定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为 a<0 x<0 n是偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为± a<0 x不存在 2．根式 (1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：()n＝a，＝(其中n>1且n∈N*)． 3．根式的性质(n＞1，且n∈N*) (1)n为奇数时，＝a. (2)n为偶数时，＝|a|＝ (3)＝0. (4)负数没有偶次方根． 二、指数幂及其运算性质 1．分数指数幂的意义 正数的正分数指数幂 (a＞0，m，nN*，且n＞1) 正数的负分数指数幂 (a＞0，m，nN*，且n＞1) 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 2．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【例题解析】 题型一　根式的运算 【例1】　求下列各式的值． (1)；(2)；(3)； (4)－，x∈(－3,3)． 解　(1) ＝－2. (2) ＝＝. (3) ＝|3－π|＝π－3. (4)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|， 当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2. 当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4. 因此，原式＝ 规律方法　根式化简与求值的思路及注意点 (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简． (2)注意点：①正确区分()n与两式；②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论． 【变式】求下列各式的值：(1)；(2)－＋. 解　(1)＝|x－y|， 当x≥y时，＝x－y； 当x<y时，＝y－x. (2)原式＝－＋＝＋－(2－)＋2－＝2. 题型二　根式与分数指数幂的互化 【例2】　用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)： (1)a2；(2)； (3)·；(4)()2·. 解　(1)原式＝a2a＝a2＋＝a. (2)原式＝＝＝a. (3)原式＝a·a＝a＋＝a. (4)原式＝2·(ab3)＝a·ab＝a＋b＝ab. 规律方法　根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出． 【变式】把下列根式化成分数指数幂的形式(a>0，b>0)： (1)；(2)；(3). 解　(1) ＝b＝b－×＝b－. (2)原式＝＝a·a·a＝a＋＋＝a. (3)原式＝[(a3＋b3)2]－＝(a3＋b3)2×＝(a3＋b3)－. 题型三　分数指数幂的运算 【例3】　计算下列各式： (1)2××； (2)0.5＋0.1－2＋－－3π0＋； (3). 解　(1)原式＝2×3××12＝21＋＋×3＋＋＝2×3＝6. (2)原式＝＋－2＋－－3×1＋＝＋100＋－3＋＝100. (3)原式＝＝6×a＋－×b＋－＝6ab－. 规律方法　1.指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． 2．根式化简的步骤 (1)将根式化成分数指数幂的形式． (2)利用分数指数幂的运算性质求解． 【变式】化简：(1)a·a·a (a>0)； (2)－·(a>0，b>0)． 解　(1)原式＝a＋＋＝a. (2)原式＝4·＝＝. 题型四　由条件求值 【例4】　已知a＋a－＝4，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2. 解　(1)将a＋a－＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14. (2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194. 规律方法　由条件求值问题的解题步骤 (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的特点； (2)化简：化简已知条件与所求代数式； (3)把已知条件代入求值． 【变式】已知a－a－＝，则a＋a